Une infinité de bases, une seule aire
Remplacez b par b + a : la maille s'allonge, se penche, devient méconnaissable — et pas un point du réseau n'a bougé. C'est que le changement de base est une matrice entière de déterminant ±1, et qu'une telle matrice permute les points du réseau sans en ajouter ni en perdre. La seule chose que toutes ces mailles ont en commun est leur aire, qui est un invariant du réseau lui-même.
changements de base élémentaires
Ce réseau sert aussi aux planches suivantes.
vecteur avecteur bmailles précédentes
Ce que l'aire mesure. L'aire de la maille est la densité inverse du réseau : un point par unité d'aire égale à |det(a, b)|. C'est pourquoi elle ne dépend pas de la base — le nombre de points par unité de surface, lui, est visible sur le dessin, et aucun changement de base ne peut le modifier.
La réduction de Gauss
Parmi cette infinité de bases, une est meilleure que les autres : la plus courte. L'algorithme de Gauss la trouve en deux lignes — on met le plus court vecteur en premier, on retranche à l'autre le multiple entier de a qui le raccourcit le plus, et on recommence. Il termine toujours, et le résultat vérifie |a| ≤ |b| et un angle compris entre 60° et 120°. C'est l'ancêtre en dimension 2 de l'algorithme LLL, celui qui sert aujourd'hui à casser — et à construire — des systèmes de chiffrement.
Pourquoi 60° et 120°. À la fin de l'algorithme, le produit scalaire vérifie |a·b| ≤ |a|²/2, ce qui borne le cosinus par 1/2 en valeur absolue. Le domaine des bases réduites est donc exactement la région |b| ≥ |a| et 60° ≤ γ ≤ 120° — c'est ce triangle curviligne qu'on retrouvera, sous une autre forme, à la dernière planche.
Compter les automorphismes
La symétrie d'un réseau se définit sans dessin : combien y a-t-il de matrices entières de déterminant ±1 qui laissent inchangées toutes les longueurs, c'est-à-dire qui préservent la matrice de Gram ? La page les énumère toutes. Le compte ne peut valoir que 2, 4, 8 ou 12 — et il donne quatre des cinq types, le cinquième venant de ce que le compte 4 se réalise de deux façons géométriquement distinctes.
Les curseurs de la planche I règlent la forme.
| type | condition sur la base réduite | automorphismes | groupe ponctuel | côtés de Voronoï |
|---|
Le cinquième type n'est pas une nouvelle symétrie. Le réseau rectangulaire et le réseau losange ont tous deux quatre automorphismes et le même groupe ponctuel 2mm. Ce qui les sépare est la position des miroirs par rapport à une base : dans le premier, deux vecteurs de base sont portés par les axes ; dans le second, aucun ne l'est — les axes passent par les diagonales. On ne peut pas déformer continûment l'un en l'autre sans perdre la symétrie en chemin, et c'est ce qui en fait deux types.
La cellule de Voronoï : quatre ou six côtés
Autour de chaque nœud, l'ensemble des points du plan qui en sont plus proches que de tout autre nœud forme un polygone convexe qui pave le plan. En dimension 2, ce polygone n'a jamais que quatre ou six côtés — jamais cinq, jamais huit. Il est calculé ici par intersections de demi-plans, et son aire vaut exactement l'aire de la maille, quelle que soit la base employée.
Pourquoi jamais cinq côtés. La cellule est centralement symétrique, puisque le réseau l'est : à chaque côté correspond un côté opposé parallèle. Le nombre de côtés est donc pair. Et il ne peut pas dépasser six, parce qu'un réseau du plan n'a jamais plus de six voisins à distance minimale — c'est la même contrainte qui limite à six le nombre de pièces de monnaie identiques qu'on peut disposer autour d'une septième.
L'espace de tous les réseaux
L'élément décisif. Un réseau à la similitude près, c'est un seul nombre complexe : normalisez a sur l'axe réel de longueur 1, et le réseau tient tout entier dans la position de b, un point τ du demi-plan supérieur. Deux points donnent le même réseau exactement quand ils se déduisent l'un de l'autre par une matrice entière de déterminant 1 — le groupe modulaire. Le demi-plan se découpe alors en triangles curvilignes tous équivalents, et tous les réseaux du monde tiennent dans un seul d'entre eux. Les cinq types y sont ses cinq strates : l'intérieur, deux bords, deux sommets.
Le point suit vos curseurs ; son image réduite est calculée par le groupe modulaire.
domaine fondamentalrectangulairelosangecarré et hexagonal
Cinq strates, cinq réseaux. L'intérieur du triangle est ouvert et de dimension 2 : c'est le cas générique, l'oblique. Le bord vertical Re τ = 0 est de dimension 1 : rectangulaire. L'arc |τ| = 1 et le bord Re τ = ±1/2 sont aussi de dimension 1 et donnent le même type : losange. Restent deux points isolés, de dimension 0 : τ = i, le carré, et τ = eiπ/3, l'hexagonal. Un réseau tiré au hasard est presque sûrement oblique — les quatre autres types sont des accidents de mesure nulle, et ce sont pourtant les seuls dont on se souvienne.