Du quadrilatère au tétraèdre
Montons d’une dimension : le cercle devient une sphère, le quadrilatère inscrit devient un tétraèdre ABCD inscrit. Les diagonales n’existent plus, mais les six arêtes se groupent en trois paires d’arêtes opposées : (AB, CD), (AC, BD), (AD, BC).
Le théorème de Ptolémée devient alors une inégalité stricte :
— et de même en permutant les rôles. Autrement dit : les trois produits d’arêtes opposées sont les côtés d’un véritable triangle. La démonstration par inversion se transpose presque mot pour mot.
Faites tourner la figure à la souris ou au doigt, à tout moment.
L’inversion dans l’espace
L’inversion se définit dans l’espace exactement comme dans le plan : on choisit le pôle A (un sommet du tétraèdre) et un rapport k². Tout point M ≠ A est envoyé sur le point M′ de la demi-droite [AM) tel que
La sphère orangée est la sphère d’inversion, de centre A et de rayon k : ses points sont fixes. Près du pôle → projeté loin ; loin → ramené près.
La sphère devient un plan
Propriété clé, version espace : l’image d’une sphère passant par le pôle est un plan (privé du pôle).
La sphère circonscrite au tétraèdre passe par A : son image est donc le plan bleu, et B, C, D sont envoyés sur trois points B′, C′, D′ de ce plan.
Regardez la sphère se déplier le long des rayons issus de A : méridiens et parallèles deviennent les droites et les cercles d’un quadrillage polaire du plan image.
Un triangle au lieu d’un alignement
Voici la différence essentielle avec le plan : A, B, C, D ne sont pas cocycliques (ce sont les sommets d’un vrai tétraèdre). Les images B′, C′, D′ ne sont donc pas alignées : elles forment un triangle dans le plan image.
À la place de l’égalité d’alignement, c’est l’inégalité triangulaire, stricte, qui s’applique :
La formule des distances, inchangée
La formule des distances de l’inversion est valable dans l’espace, avec la même démonstration : AMN et AN′M′ sont semblables (AM·AM′ = AN·AN′ = k², angle en A commun — le raisonnement se fait dans le plan AMN) :
La figure surligne le cas M = B, N = C : le triangle ABC et son image AC′B′, sommets échangés, dans leur plan commun.
La substitution
On traduit les trois côtés de l’inégalité B′D′ < B′C′ + C′D′ avec la formule des distances :
Puis on multiplie par AB · AC · ADk ² :
En choisissant le pôle en B, C ou D, on obtient de même les deux autres inégalités : les trois produits vérifient l’inégalité triangulaire complète.
Conclusion — le triangle des produits
Mieux : d’après la formule des distances, les côtés du triangle B′C′D′ sont proportionnels aux trois produits (facteur k²/(AB·AC·AD)). Le triangle bleu que vous voyez est, à similitude près, le triangle de côtés AB·CD, AC·BD, AD·BC — l’inégalité de Ptolémée dans l’espace ∎
Quand A, B, C, D deviennent cocycliques, le triangle B′C′D′ s’aplatit en un segment : on retrouve l’égalité — le théorème de Ptolémée du plan est le cas limite de l’inégalité de l’espace.
Inversion de pôle A dans l’espace, rapport k². Projection 3D perspective maison ; l’animation respecte le réglage « réduire les animations »