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Géométrie du tore : Les cercles de Villarceau

Par un point d’une sphère passent une infinité de cercles. Par un point d’un tore, on en voit d’emblée deux : le parallèle et le méridien. En 1848, l’astronome français Yvon Villarceau en révèle deux autres, parfaitement circulaires eux aussi, obtenus en tranchant le tore par un plan bitangent — un plan qui passe par le centre en effleurant le tube en deux points. Quatre cercles par chaque point : c’est l’un des plus jolis secrets de la géométrie classique.

Figure animée

Trancher le tore

Tore (R, r) Plan bitangent Cercle de Villarceau 1 Cercle de Villarceau 2 Parallèle Méridien Point M
0,38 R
Inclinaison du plan : α = arcsin(r/R)
Glissez sur la figure pour faire pivoter le point de vue.
La clé

Pourquoi « bitangent » ? La coupe de profil

Coupons d’abord le tore par un plan vertical passant par son axe : on voit les deux sections du tube, deux disques de rayon r dont les centres sont à distance R de l’axe. Faisons alors pivoter une droite autour du centre O : elle finit par toucher les deux disques à la fois — l’un par au-dessus, l’autre par en dessous. C’est exactement l’inclinaison du plan de Villarceau :

sin α = r / R

La droite suit en direct l’inclinaison du plan de la figure principale : lancez l’étape 2 ci-dessus et regardez-la se coucher sur les deux cercles. Modifier r change l’angle : un tube fin donne un plan presque horizontal, un tube épais un plan très incliné.

La preuve

Vérifier que la section est bien deux cercles

Le tore de grand rayon R et de rayon de tube r a pour équation :

( x² + y² + z² + R² − r² )² = 4R²( x² + y² )

Dans le plan bitangent z = x tan α, considérons les deux cercles de rayon R (le grand rayon !) centrés aux points (0, ±r, 0) :

M(t) = ( R cos t cos α ,  ±r + R sin t ,  R cos t sin α )

Un calcul direct donne x² + y² + z² = R² + r² ± 2rR sin t, donc le membre de gauche de l’équation du tore vaut 4R²(R ± r sin t)². Pour le membre de droite, x² + y² = R²cos²t cos²α + (±r + R sin t)² ; la différence des deux membres se factorise en cos²t ( R² − r² − R²cos²α ), qui s’annule identiquement dès que sin α = r/R. Les deux courbes sont donc entièrement tracées sur le tore : la section du plan bitangent est exactement cette paire de cercles, qui se croisent aux deux points de tangence.

Remarquable : ces cercles ont pour rayon R, comme le cercle central du tore, et leurs centres ne sont pas sur l’axe — ils sont décalés de r de part et d’autre. En faisant tourner le plan bitangent autour de l’axe, chaque famille balaie tout le tore : par chaque point M passent ainsi un parallèle, un méridien, et un cercle de chacune des deux familles de Villarceau — quatre cercles, comme le montre l’étape 4.

Dans la marge : Antoine-Joseph Yvon Villarceau (1813–1883), astronome à l’Observatoire de Paris, publia ce résultat en 1848 dans une simple note de quelques lignes. Ses cercles coupent tous les parallèles du tore sous le même angle — ce sont des loxodromies du tore — et ils réapparaissent au XXᵉ siècle comme les fibres de la fibration de Hopf projetées sur l’espace ordinaire : deux siècles de géométrie reliés par une coupe de couteau bien inclinée.