Trois oscillations sinusoïdales, une par axe : la courbe se referme lorsque les fréquences sont entières, et se déforme continûment quand la phase δ évolue. Ses trois ombres sur les murs sont des courbes de Lissajous planes.
La courbe tracée en rouge est paramétrée, pour u parcourant [0 ; 2π], par :
x(u) = sin(pu + δ), y(u) = sin(qu), z(u) = sin(ru).
Lorsque p, q, r sont entiers (plus généralement, deux à deux commensurables), la courbe est fermée : le point mobile revient à son départ après une période. Le déphasage δ, qui augmente lentement au cours de l'animation, déforme la courbe sans changer son enveloppe : la famille obtenue balaie toutes les figures possibles pour un triplet de fréquences donné, exactement comme sur l'écran d'un oscilloscope dont les deux signaux dérivent légèrement.
Les trois ombres bleues, obtenues en oubliant une coordonnée, sont les projections orthogonales de la courbe sur les murs. Chacune est une courbe de Lissajous plane classique : le mur du fond montre le couple (x, y), donc la figure de fréquences p : q, et ainsi de suite. La courbe 3D est le seul objet dont ces trois figures planes sont simultanément les ombres.
Essayez le préréglage (1, 1, 2) : quand deux fréquences sont égales, la projection correspondante dégénère en ellipse, puis en segment lorsque δ passe par 0 ou π — on voit alors la courbe 3D s'aplatir périodiquement dans un plan.