1. Le cas

Un épargnant dispose d'un contrat d'assurance-vie et doit décider de la répartition de son capital pour les cinq prochaines années. Deux compartiments s'offrent à lui : le fonds en euros, à capital garanti et rendement modeste, et les unités de compte exposées aux marchés actions, plus rémunératrices mais sans garantie.

2. Les hypothèses, à votre main

Les rendements sont annualisés et nets de frais de gestion. En cas de récession, le fonds en euros conserve son rendement (les assureurs lissent grâce à la provision pour participation aux bénéfices), tandis que les unités de compte encaissent la baisse puis une reprise partielle : sur les cinq ans, le rendement annualisé devient négatif.

3. La matrice des gains

Cinq stratégies d'allocation, deux états du monde. Chaque case donne le capital atteint à l'horizon retenu. Un placement en buy and hold est supposé, sans arbitrage en cours de route.

4. L'espérance en fonction d'une probabilité de récession p

Pour une probabilité de récession p, l'espérance de capital d'une stratégie exposée à une part w en unités de compte s'écrit :

E(w, p) = V_euros + w · [ (1 − p)·V_UC+ + p·V_UC− − V_euros ]

Chaque stratégie donne donc une droite en p. Et toutes ces droites se coupent en un même point : la probabilité pivot p*, celle qui rend l'exposition actions exactement équivalente au fonds en euros.

5. Cinq critères pour une fourchette

Puisque p n'est pas connue, chaque stratégie n'offre plus une espérance mais un intervalle [E(p_max), E(p_min)]. Les critères de décision se répartissent alors selon le degré de prudence.

Le regret d'une stratégie est l'écart avec la meilleure décision a posteriori ; on retient ici le regret le plus fort rencontré sur la fourchette, puis on choisit la stratégie qui le minimise. C'est le seul critère des cinq qui punisse aussi l'excès de prudence.

6. Ce que l'espérance ne dit pas : l'aversion au risque

Maximiser l'espérance conduit mécaniquement à une solution extrême : tout en UC, ou tout en fonds euros. Un épargnant réel ne raisonne pas ainsi : 100 000 € perdus pèsent plus lourd que 100 000 € gagnés. On traduit cela par une utilité à aversion relative constante :

u(V) = V^1−γ / (1 − γ)   (u(V) = ln V si γ = 1)

et l'on compare les stratégies par leur équivalent certain : le capital garanti qui procurerait la même satisfaction que le pari. Cette fois l'optimum est intérieur — une allocation mixte — et il varie avec p.

7. Ce que la fourchette change vraiment

• Elle ne renverse pas toujours la décision. Tant que la probabilité pivot p* reste hors de la fourchette, le classement des stratégies par l'espérance est identique en tout point de l'intervalle : l'imprécision est sans effet, et il est inutile de dépenser des efforts à resserrer l'estimation.
• Elle devient décisive lorsqu'elle contient le pivot. Si p* tombe à l'intérieur de la fourchette, les critères divergent : Γ-maximin bascule vers la sécurité, Γ-maximax vers l'exposition, et l'écart entre les deux mesure le prix de l'ignorance.
• Elle se traduit en plage d'allocations, pas en allocation unique. Avec une utilité concave, la fourchette de probabilité engendre une fourchette de parts optimales en UC. Choisir la borne basse de cette plage, c'est adopter une allocation qui reste raisonnable quelle que soit la valeur vraie de p dans l'intervalle.
• Les contraintes dominent souvent les probabilités. La part maximale garantissant le capital nominal se calcule sans aucune probabilité et s'impose à tous les critères. Dans beaucoup de dossiers réels, c'est elle qui tranche.