La droite d'Euler d'un 4-simplexe

Cinq points de ℝ⁴, dix arêtes, cinq facettes tétraédriques. On ne peut plus voir la figure — mais les coordonnées, elles, ne changent pas de nature. Le point de Monge se généralise : pour chaque arête, on prend l'hyperplan mené par le centre de gravité de la face opposée, perpendiculairement à cette arête. Ces dix hyperplans concourent en M, et l'on retrouve l'alignement avec OM = 5/3 · OG.

4D rotation

	x	y	z	w

médianes → G rayons égaux → O hyperplans de Monge → M droite d'Euler Glisser = rotation 3D · molette = zoom · curseur 4D = rotation dans les plans (x,w) et (y,z)

La démonstration, valable en toute dimension.
Plaçons l'origine en O, de sorte que |A_i| = R pour tous les sommets d'un n-simplexe, et posons Σ = A₀+…+A_n.
L'hyperplan de Monge de l'arête [A_iA_j] est l'ensemble des X tels que (X − F_ij)·(A_j−A_i) = 0, où F_ij = (Σ − A_i − A_j)/(n−1) est le centre de gravité de la face opposée.
Testons le point Σ/(n−1) : la différence avec F_ij vaut (A_i+A_j)/(n−1), et (A_i+A_j)·(A_j−A_i) = |A_j|² − |A_i|² = 0. Ce point appartient donc aux n(n+1)/2 hyperplans à la fois : c'est le point de Monge, M = (Σ − 2O)/(n−1), d'où OM = (n+1)/(n−1) · OG.

dimension	figure	point	formule	rapport OM/OG	rayon de la sphère d'Euler
n = 2	triangle	orthocentre H	Σ − 2O	3	R/2 (cercle des neuf points)
n = 3	tétraèdre	point de Monge M	(Σ − 2O)/2	2	R/3 (sphère des douze points)
n = 4	5-cellule	point de Monge M	(Σ − 2O)/3	5/3	R/4

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