Deux vecteurs, un parallélogramme, une aire. Le déterminant mesure à quel point une transformation dilate — ou écrase — l'espace, et s'il en retourne l'orientation.
Multiplier un vecteur par une matrice le déplace ailleurs dans l'espace. Appliquée à toute une figure — un carré, par exemple — cette même matrice l'étire, la comprime, ou parfois la retourne comme dans un miroir.
Le déterminant capture cette déformation en un seul nombre. Sa valeur absolue est le facteur par lequel les aires (ou les volumes, en dimension 3) sont multipliées. Son signe indique si l'orientation de la figure est conservée ou inversée.
Quand ce nombre tombe à zéro, la transformation écrase l'espace sur une droite, voire un point — une dimension entière disparaît. C'est le signal qu'une matrice n'a pas d'inverse.
Un seul nombre qui résume l'effet d'une matrice sur les aires ou les volumes.
Positif : la figure garde son sens. Négatif : elle est retournée, comme dans un miroir.
Déterminant nul : l'espace est écrasé sur une dimension inférieure, la matrice n'a pas d'inverse.
Réglez les quatre coefficients : le parallélogramme formé par les colonnes de la matrice se déforme en direct, et son aire signée — le déterminant — se recalcule avec lui.
Les deux vecteurs colorés sont les colonnes de la matrice : le bleu est l'image de (1,0), le mauve celle de (0,1).
Colonnes colinéaires : le parallélogramme s'est écrasé sur une droite. L'aire est nulle et la matrice n'est pas inversible.
À partir de 3 dimensions, plus de figure simple à observer à l'œil nu : il faut une méthode systématique. En voici trois, toujours d'accord entre elles.
Modifiez librement cette matrice — les trois méthodes ci-dessous se recalculent ensemble, en direct.
On recopie les deux premières colonnes à droite de la matrice. Trois diagonales descendantes s'additionnent, trois diagonales montantes se soustraient.
Choisissez une ligne ou une colonne : on développe le déterminant le long de celle-ci. Le résultat est toujours le même, quel que soit le choix.
On élimine les coefficients sous la diagonale par combinaisons de lignes — cela ne change pas le déterminant. Une fois la matrice triangulaire, il suffit de multiplier la diagonale.
Échanger deux lignes (ou deux colonnes) inverse le signe du déterminant.
Une ligne nulle, ou deux lignes identiques ou proportionnelles, donnent un déterminant nul.
Multiplier une ligne par un scalaire k multiplie le déterminant par k.
Ajouter un multiple d'une ligne à une autre ne change pas le déterminant.
Le déterminant d'une matrice triangulaire est le produit de sa diagonale.
det(AB) = det(A) × det(B), et det(Aᵀ) = det(A).
Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
Une matrice 2×2 a pour colonnes deux vecteurs colinéaires (l'un est un multiple de l'autre). Que vaut son déterminant ?