Nn = n² + n + 41 — jusqu'où une formule peut-elle ne produire que des nombres premiers ?
Posons Nn = n² + n + 41 et calculons les valeurs successives :
41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131… Toutes premières. La formule semble fabriquer des nombres premiers à
volonté. Elle le fait quarante fois de suite, de n = 0 à n = 39, puis s'effondre —
et l'effondrement était inscrit dans la formule dès le départ. Cette page calcule tout à l'écran : aucune
valeur n'est recopiée d'une table.
Planche 1 La machine à nombres premiers
Chaque case reçoit Nn, puis subit un test de primalité par divisions successives jusqu'à √Nn.
Vert : premier. Rouge : composé. Lancez et regardez où la série se brise.
n
—
Nn = n² + n + 41
—
√Nn (limite des essais)
—
plus petit diviseur
—
verdict
—
série de premiers
0
nombre premiernombre composépas encore testé
Le premier nombre composé apparaît pour n = 40 :
N40 = 1681 = 41 × 41. La formule a donc fourni 40 nombres premiers consécutifs
(n = 0 à 39), le dernier étant N39 = 1601. Elle repart ensuite par intermittence : 1847 et 1933 sont
premiers, mais 2021 = 43 × 47 ne l'est pas.
Planche 2 Pourquoi la rupture était inévitable
La panne n'est pas un accident de parcours : elle se lit dans l'écriture même du polynôme.
Déroulez le calcul de N40.
étape 1 / 7
La trace du 41 dans toute la suite
Rangeons les valeurs par lignes de 41 cases. Comme Nn ne dépend que de n modulo 41 quand on
regarde la divisibilité par 41, les cas fautifs se rangent en colonnes.
n
40
n mod 41
40
Nn
1681
décomposition
41 × 41
divisible par 41 ?
oui
premiercomposé, divisible par 41composé, non divisible par 41
Contrôle numérique en cours…
Le théorème général : aucun polynôme n'échappe à la règle
Si P est un polynôme à coefficients entiers et si P(a) = p, alors P(a + kp) ≡ P(a) ≡ 0 (mod p) pour tout entier k.
Le polynôme retombe donc fatalement sur des multiples de p. Choisissez a et k, la vérification se fait à l'écran.
p = Na (premier)
—
n = a + k·p
—
Nn
—
Nn ÷ p
—
reste
—
Avec a = 0 on retrouve exactement le cas précédent : p = 41, et tous les n multiples de 41
donnent un multiple de 41. Aucun polynôme non constant ne peut donc ne prendre que des valeurs premières ;
la seule question qui vaille est combien de temps il y parvient.
Planche 3 La parabole et ses quatre-vingts valeurs
Nn est une parabole d'axe n = −½. D'où l'identité Nn = N−1−n : les valeurs
se répondent deux à deux de part et d'autre de l'axe. La série de 40 premiers en cache donc une de 80.
n
12
Nn
197
symétrique −1−n
−13
N−1−n
197
écart
0
écart maximal, −60 ≤ n ≤ 60
0
De n = −40 à n = 39, ce sont 80 entiers consécutifs qui donnent tous un nombre
premier — record encore inégalé pour un polynôme de degré 2. En posant m = −n on obtient la forme équivalente
m² − m + 41, premier pour m = 1 … 40. Les deux bords cèdent en même temps : N−41 = N40 = 1681.
Planche 4 La famille n² + n + q
Rien n'oblige à s'arrêter à 41. Pour chaque q, comptons combien de valeurs premières consécutives le
polynôme fournit à partir de n = 0. La hauteur des barres est cette longueur de série.
q
41
longueur de la série
40
première valeur composée
—
discriminant 1 − 4q
−163
série = q − 1 ?
oui
q
longueur
q − 1
1 − 4q
Le maximum possible est q − 1 (car n = q − 1 redonne un multiple de q), et il n'est atteint que
pour q = 2, 3, 5, 11, 17, 41 — la liste s'arrête là, définitivement.
Les discriminants correspondants, −7, −11, −19, −43, −67, −163, sont les nombres de Heegner impairs.
Le théorème de Rabinowitsch (1913) explique la coïncidence : la série atteint q − 1 exactement quand le corps
quadratique ℚ(√(1−4q)) a un nombre de classes égal à 1, c'est-à-dire quand la factorisation y est unique.
Que la liste des neuf nombres de Heegner soit complète n'a été démontré qu'en 1952 par Heegner, puis établi
sans lacune par Baker et Stark vers 1967. 41 est donc le dernier de sa lignée.
Planche 5 — signature Ce que 41 laisse derrière lui
La série casse à n = 40, mais le polynôme reste anormalement fertile bien au-delà. Trois épreuves.
A. La diagonale d'Ulam
Enroulons les entiers en spirale à partir de 41 et noircissons les nombres premiers. Les valeurs de
n² + n + 41 tombent toutes sur une même diagonale — visible à l'œil nu comme un trait continu.
cases de la spirale
—
premiers affichés
—
cases alignées consécutivement premières
—
rupture des deux côtés
—
Ulam remarqua ces alignements en 1963 en griffonnant pendant un exposé. Une diagonale de la
spirale est un polynôme quadratique : les traits sombres de la spirale sont la trace visuelle des
polynômes fertiles, et le plus long d'entre eux est celui d'Euler.
B. La fertilité mesurée
Comparons le nombre de premiers parmi N0 … Nn−1 à ce qu'on attendrait d'entiers
ordinaires de même taille, c'est-à-dire à la somme des 1 / ln Nk. Le calcul se fait par crible sur n
(pour chaque premier p, on marque les deux racines de n² + n + 41 ≡ 0 mod p), méthode contrôlée contre la
division directe.
valeurs premières
—
proportion
—
Σ 1 / ln Nk
—
rapport mesuré
—
contrôle crible ÷ divisions (n < 3000)
—
Le rapport ne retombe jamais vers 1 : il se stabilise autour de 6,64.
Comme Nn est toujours impair, la comparaison honnête se fait avec les seuls impairs de même taille, et
le facteur devient ≈ 3,3. Hardy et Littlewood ont conjecturé cette constante (voisine de 3,32
pour ce polynôme) : elle mesure exactement ce que 41 continue d'apporter longtemps après avoir cessé de
produire des premiers d'affilée.
C. L'écho du nombre 163
Le discriminant −163 laisse une trace inattendue en analyse. Calculons eπ√163 en virgule fixe
sur 80 décimales (π donné à 100 décimales, racine par Newton en BigInt, exponentielle par série après
réduction ex = (ex/256)256).
eπ√163 (constante de Ramanujan)
—
entier le plus proche
—
640320³ + 744
—
écart à l'entier
—
contrôles e¹ et √2
—
Douze 9 après la virgule, sans que ce soit un entier. Ce n'est pas un hasard :
le même fait — le nombre de classes 1 pour le discriminant −163 — qui donne à n² + n + 41 ses quarante premiers
force ici la série du j-invariant à n'avoir presque plus de termes. La curiosité arithmétique de Planche 1 et
cette quasi-coïncidence analytique sont le même théorème.
Pour finir Ce qu'il faut retenir
Euler signale ce polynôme en 1772 ; il l'appelait un cas particulièrement heureux de ses numeri idonei.
La réponse à la question posée tient en quatre lignes :
La formule donne 40 valeurs premières consécutives, de n = 0 à n = 39, puis 1681 = 41².
En comptant les n négatifs, ce sont 80 entiers consécutifs, de −40 à 39.
Aucun polynôme non constant ne peut mieux faire indéfiniment : P(a + k·P(a)) est toujours divisible par P(a).
Parmi les n² + n + q, seuls q = 2, 3, 5, 11, 17, 41 atteignent la longueur maximale q − 1, et la liste est close.