Le calcul vectoriel

Deux opérations suffisent à définir un espace vectoriel : ajouter deux vecteurs et en multiplier un par un nombre. L'addition se lit de deux manières équivalentes — bout à bout, ou par la diagonale du parallélogramme — et l'animation montre que c'est la même chose. Une fois ces deux opérations posées, tout vecteur du plan s'écrit d'une seule façon comme λ·u + μ·v, à condition que u et v ne soient pas colinéaires : c'est le déterminant qui le décide, et l'on voit ci-dessous la décomposition s'affoler quand il approche de zéro.

uvcombinaison λu + μv

Ce que l'on gagne à oublier l'origine. Un vecteur n'a ni début ni fin fixés : on peut le transporter partout. C'est ce qui rend l'addition bout à bout légitime, et ce qui distingue l'espace vectoriel de l'espace affine, où les points, eux, ne se déplacent pas. La différence de deux points est un vecteur ; la somme de deux points n'a aucun sens. Toute la mécanique repose sur cette distinction : une force est un vecteur, son point d'application est un point, et le moment naîtra précisément de leur rencontre à la planche III.

Le premier produit répond à la question : quelle part de v va dans la direction de u ? On projette v sur u, on multiplie la longueur projetée par celle de u, et l'on obtient un nombre — d'où le nom de scalaire. Faites tourner v : le produit suit une cosinusoïde, s'annule à la perpendiculaire, devient négatif quand v repart en arrière. La page calcule en même temps la forme géométrique |u||v|cos θ et la forme algébrique x₁x₂ + y₁y₂ : elles ne diffèrent jamais.

Trois lectures d'une même formule. Un physicien y voit le travail d'une force le long d'un déplacement : seule compte la composante dans le sens de la marche, et pousser perpendiculairement ne coûte rien. Un géomètre y voit le théorème d'Al-Kashi, car développer |u−v|² donne immédiatement la loi des cosinus. Un analyste y voit un produit scalaire au sens abstrait, dont les fonctions de carré intégrable héritent — et c'est ainsi que la série de Fourier devient une projection orthogonale.

Le second produit ne rend pas un nombre mais un vecteur, et il n'existe qu'en dimension trois. Sa norme est l'aire du parallélogramme construit sur u et v, sa direction est perpendiculaire aux deux, son sens donné par la règle de la main droite. Il s'annule quand les vecteurs sont colinéaires — aire nulle — et il change de signe quand on échange les facteurs. Tournez la vue, faites pivoter v, et regardez l'aire suivre un sinus pendant que le produit scalaire suivait un cosinus.

uvu × v

Pourquoi seulement en dimension trois. Exiger un produit de deux vecteurs qui soit encore un vecteur, bilinéaire, antisymétrique et perpendiculaire aux deux facteurs n'est possible qu'en dimensions 3 et 7 — et le cas 7 perd l'associativité des identités usuelles. La vraie généralisation n'est pas le produit vectoriel mais le produit extérieur u ∧ v, qui vit dans un espace de dimension n(n−1)/2 : en dimension 3, et là seulement, ce nombre vaut 3, ce qui permet de confondre le bivecteur avec un vecteur. Le produit vectoriel est donc une coïncidence heureuse de notre dimension.

Combinez les deux précédents : (u × v)·w. La norme du produit vectoriel donne l'aire de la base, le produit scalaire avec w prélève la hauteur — et le résultat est le volume du parallélépipède, affecté d'un signe selon l'orientation du trièdre. Ce nombre est exactement le déterminant de la matrice des trois vecteurs, et il s'annule si et seulement si les trois sont coplanaires. Faites tourner w vers le plan de u et v : le volume s'aplatit et le signe bascule au passage.

Le déterminant est un volume, et c'est tout. On l'enseigne souvent comme une recette de calcul — règle de Sarrus, développement par mineurs — alors que sa définition naturelle est géométrique : c'est le facteur par lequel une application linéaire multiplie les volumes, avec son signe d'orientation. Toutes ses propriétés en découlent sans effort. Il s'annule quand l'image est aplatie, donc quand l'application n'est pas inversible ; il est multiplicatif parce que composer deux applications multiplie les facteurs d'échelle ; et il change de signe quand on échange deux vecteurs parce que cela retourne le trièdre.

L'élément décisif : donnez-vous un vecteur en chaque point du plan, et le calcul vectoriel devient de l'analyse. Deux instruments suffisent à sonder un champ. Une petite roue à aubes, dont la mise en rotation mesure le rotationnel. Un petit cercle, dont le flux sortant mesure la divergence. La page les calcule par intégration le long du cercle et vérifie, à chaque instant, l'identité de Green : la circulation sur le bord égale le flux du rotationnel à l'intérieur.

champcirculationflux sortant

Le piège du tourbillon. Choisissez le champ en 1/r : son rotationnel est nul partout où il est défini, et pourtant la circulation autour de l'origine vaut 2π, quel que soit le rayon. Le théorème de Green n'est pas en défaut — il exige que le champ soit défini sur toute la surface bordée, et l'origine y fait un trou. C'est exactement la situation qui, en variable complexe, donne le théorème des résidus, et en physique la circulation d'un vortex ou le flux magnétique d'un fil. Les théorèmes intégraux du calcul vectoriel ne disent rien sans leurs hypothèses de domaine.