Cahier de géométrie · Électrostatique
Une seule équation relie la matière chargée au potentiel qu'elle crée. Cinq planches pour voir comment on la résout : par relaxation, par intégration, par symétrie, par la propriété de la moyenne — et par le hasard.
Sur une grille, le laplacien devient une différence : le potentiel d'un point moins la moyenne de ses quatre voisins. L'équation de Poisson dit que cet écart vaut exactement la charge locale. On part de n'importe quoi et on impose la règle en boucle : la solution apparaît.
Ce qu'il faut regarder. Le résidu — l'écart entre les deux membres de l'équation — tombe de plusieurs ordres de grandeur en quelques dizaines de balayages. Avec ω = 1, c'est la méthode de Gauss–Seidel, lente. En poussant ω vers 1,97, on dépasse volontairement la correction à chaque pas : la convergence devient nettement plus rapide, jusqu'au point où elle se met à osciller.
Dans la cage de Faraday, le potentiel s'aplatit à l'intérieur du conducteur creux même lorsqu'on charge l'extérieur : les équipotentielles ne pénètrent pas. C'est une conséquence directe de l'unicité de la solution — dans une région vide entourée d'une frontière à potentiel constant, la seule solution possible est le potentiel constant.
Quand rien ne dépend de y ni de z, l'équation de Poisson devient V″(x) = −ρ(x)/ε₀. On l'intègre une fois pour obtenir le champ, une deuxième fois pour le potentiel. Regardez les trois courbes se construire ensemble : chacune est l'aire accumulée sous celle du dessus.
La jonction PN. C'est l'usage industriel le plus massif de l'équation de Poisson. Côté P, les accepteurs ionisés laissent une charge négative ; côté N, les donneurs une charge positive. Deux blocs de charge opposée : le champ est triangulaire, maximal à la jonction, et le potentiel varie de façon parabolique de chaque côté. La différence entre V(0) et V(L) est la tension de diffusion. C'est exactement ce calcul, refait à chaque nœud, qui dimensionne un transistor.
La diode à vide. Le préréglage « charge d'espace » suit la loi de Child–Langmuir : le nuage d'électrons émis par la cathode crée sa propre charge, qui creuse le potentiel et finit par limiter le courant. Le courant y varie comme V3/2 et non comme V — la première grande conséquence pratique de l'équation, à l'aube de l'électronique.
Quand ρ ne dépend que de r, le laplacien se réduit à un seul terme radial et l'intégration donne le théorème de Gauss. Ci-dessous, on choisit une distribution, on calcule V, puis on vérifie : on redérive numériquement ∇²V et on le superpose à −ρ/ε₀. Les deux courbes doivent se confondre.
La boule uniforme. À l'intérieur, Qint croît en r³, donc E croît linéairement et V est parabolique. À l'extérieur, tout se passe comme si la charge était concentrée au centre : E décroît en 1/r², V en 1/r. Le raccord à r = a est lisse pour V et pour E — c'est ce que garantit l'équation, qui interdit une discontinuité du champ là où la densité reste finie.
La coquille mince. Le champ est rigoureusement nul à l'intérieur et le potentiel y est constant. C'est le même mécanisme que la cage de Faraday de la planche 1, ici obtenu analytiquement.
L'atome d'hydrogène. Le nuage électronique 1s a pour densité ρ(r) ∝ e−2r/a. En le combinant au proton ponctuel, on obtient le potentiel écranté : de près, l'électron ne masque rien et on voit la charge nue du noyau ; de loin, l'ensemble est neutre et le potentiel s'effondre exponentiellement. C'est le point de départ du modèle de Thomas–Fermi, où l'équation de Poisson est couplée à la densité électronique — la première théorie de la fonctionnelle de la densité.
Dans le vide, la valeur de V en un point est exactement la moyenne de V sur n'importe quel cercle centré sur ce point. C'est la propriété de la moyenne, et c'est une reformulation complète de l'équation de Laplace. Déplacez le disque et lisez l'écart.
La conséquence qu'on n'attend pas. Si V est toujours la moyenne de ce qui l'entoure, il ne peut avoir ni maximum ni minimum local dans le vide : un creux exigerait que le centre soit inférieur à tout son voisinage, donc inférieur à sa propre moyenne. Les extrema sont rejetés sur les bords. C'est le principe du maximum.
Le théorème d'Earnshaw en découle immédiatement. Piéger une charge dans un champ électrostatique demanderait un minimum de son énergie potentielle — donc un creux du potentiel dans le vide. Impossible. Lâchez la charge test : elle trouve des points d'équilibre, mais ce sont toujours des cols. Les deux courbures affichées sont de signes opposés, et leur somme est nulle : c'est précisément ce que dit ∇²V = 0. Stable dans une direction, la charge s'échappe par l'autre.
Voici la conséquence la plus déroutante de la propriété de la moyenne. Pour connaître V en un point précis, sans résoudre nulle part ailleurs : lâchez un marcheur ivre. À chaque pas il va au hasard vers l'un de ses quatre voisins. Quand il atteint le bord, notez le potentiel qu'il y trouve. Recommencez. La moyenne des valeurs rapportées converge vers V au point de départ.
Pourquoi ça marche. Le marcheur, à chaque pas, choisit un voisin au hasard. L'espérance de ce qu'il rapportera depuis le point (i,j) est donc la moyenne des espérances des quatre voisins. Mais cette relation — « la valeur en un point est la moyenne des quatre voisins » — est le schéma à cinq points de la planche 1. La fonction « espérance du potentiel de bord atteint » vérifie l'équation de Laplace et coïncide avec V sur le bord. Par unicité, c'est V.
Avec une source, il faut ajouter la contribution accumulée le long du chemin : chaque pas passé dans une région chargée ajoute h²ρ/4ε₀ à la récolte. C'est la formule de Feynman–Kac, qui relie les équations aux dérivées partielles elliptiques au mouvement brownien.
Ce que ça coûte, ce que ça rapporte. L'erreur décroît en 1/√N — il faut cent fois plus de marches pour gagner un chiffre. La relaxation de la planche 1 est bien plus efficace pour cartographier tout le domaine. Mais la méthode probabiliste a un avantage qu'aucune grille n'a : elle donne V en un point isolé sans rien calculer ailleurs, elle ne souffre pas de la dimension, et elle se parallélise sans le moindre échange entre marcheurs. En dimension élevée — physique statistique, finance — c'est souvent la seule option praticable.