Cahier de géométrie — tracé de la perspective
Le tracé d'atelier n'emploie ni coordonnées ni calcul : une règle, quatre données de départ — ligne de terre, ligne d'horizon, point principal, point de distance — et une seule opération répétée, l'intersection de deux droites déjà tracées. Tout le reste en découle, y compris les profondeurs, que rien ne semblait pouvoir mesurer.
Chaque planche déroule une construction complète, trait après trait : on peut la faire avancer d'un pas, la relancer, ou la reprendre au milieu en déplaçant le curseur d'avancement. À la fin de chaque planche, les points obtenus par la règle seule sont confrontés à leur projection calculée : c'est la vérification que la recette d'atelier est un théorème.
Repère de travail : l'œil à la distance d du tableau, à la hauteur h du sol.
Le tableau est un plan vertical posé sur le sol. Sa trace au sol est la ligne de terre : tout ce qui la touche s'y mesure en vraie grandeur, à l'échelle 1. La ligne d'horizon se place exactement à la hauteur de l'œil au-dessus d'elle — cette hauteur se reporte donc, elle aussi, en vraie grandeur.
Ce que fixe cette planche. Deux droites et deux points suffisent à définir entièrement le point de vue. Le point principal P est le pied de la perpendiculaire abaissée de l'œil sur le tableau : toute droite perpendiculaire au tableau y fuit. Le point de distance D est l'œil lui-même, rabattu sur le tableau autour de la ligne d'horizon : toute droite à 45° du tableau y fuit. C'est ce rabattement qui rend la profondeur mesurable à la règle.
Les carreaux sont supposés carrés, de côté a. Les divisions se marquent en vraie grandeur sur la ligne de terre ; les fuyantes vont au point principal ; une seule diagonale, menée au point de distance, découpe toutes les profondeurs.
Pourquoi cela fonctionne. La diagonale d'un carreau est une droite du sol inclinée à 45° sur le tableau : son point de fuite est précisément D. Elle traverse donc les coins successifs des carreaux, et les découpe là où il faut. La profondeur, qu'aucune mesure directe ne pouvait atteindre sur le tableau, est ainsi obtenue par deux intersections de droites.
Une hauteur ne se mesure en vraie grandeur que sur le tableau, c'est-à-dire sur la ligne de terre. Pour l'installer plus loin, on la porte d'abord là où elle est mesurable, puis on la fait voyager le long d'une fuyante.
La règle du jeu. Le point de mesure sur la ligne de terre n'est pas quelconque : c'est le pied de la fuyante du point à élever. Une fois la hauteur portée là en vraie grandeur, la droite qui la joint au point principal est l'image de la ligne horizontale des sommets — elle transporte la hauteur exactement comme il faut, en la réduisant dans le rapport d/(d + j·a).
Un pavé droit posé sur le sol : quatre coins repérés sur le carrelage, quatre verticales, et deux hauteurs seulement à reporter — les autres suivent les fuyantes.
Deux hauteurs suffisent. Les deux arêtes de devant sont à la même profondeur : leurs sommets sont à la même hauteur sur le tableau, donc sur une même horizontale. Les deux arêtes de derrière s'obtiennent en suivant les fuyantes issues des sommets de devant. Aucun sommet n'a été calculé : chacun est l'intersection de deux droites tracées avant lui.
Une place carrelée, trois volumes, une rangée de poteaux : une soixantaine de traits, tous obtenus à la règle depuis les quatre données de la planche I. Rien n'est projeté, tout est intersecté. Au dernier pas, chaque sommet ainsi construit est confronté à sa projection calculée.
Ce que prouve le dernier pas. Les cercles rouges sont les sommets calculés par la projection centrale, u = d·x/y et v = d·z/y ; ils tombent exactement sur les sommets construits à la règle, à quelques 10⁻¹⁶ m près — l'erreur du calcul en double précision, pas celle de la méthode. Le tracé d'atelier et la formule sont le même objet, l'un exprimé par des intersections de droites, l'autre par une division. Baisser la hauteur de l'œil sous un mètre trente : la ligne d'horizon descend, toute la rue se redresse, et la vérification tient toujours.