Les tracés régulateurs

Les deux méthodes des loges gothiques, animées ici pas à pas. Ad quadratum : on inscrit dans un carré le carré de ses milieux, tourné d'un huitième de tour, et l'on recommence — chaque étape divise le côté par √2. Ad triangulum : on empile des triangles équilatéraux, et tout est réglé par √3/2. Aucune mesure n'intervient : ces tracés se font à la corde et à l'équerre, sans unité de longueur, ce qui est précisément leur intérêt sur un chantier où personne ne partage la même toise.

Pourquoi ces tracés-là et pas d'autres. Le carré tourné et le triangle équilatéral ont une propriété que le nombre d'or n'a pas : ils se construisent d'un seul coup de compas, sans division, sans nombre. Le maître d'œuvre transmet une figure, pas une valeur. C'est ce qu'atteste le carnet de Villard de Honnecourt, et c'est ce que consignent les expertises de Milan en 1400, où les maîtres italiens et allemands se disputent précisément sur le choix entre ad quadratum et ad triangulum pour la section de la cathédrale.

Le rectangle de proportion φ = 1,618034 a une propriété unique : retranchez-lui un carré, le rectangle restant lui est semblable. On peut donc recommencer indéfiniment, et les carrés successifs tournoient vers un point limite — l'œil de la spirale. Deux conséquences comptent pour l'architecte : la spirale logarithmique qui s'en déduit, et surtout le fait que la diagonale du rectangle et celle de son réciproque sont perpendiculaires. C'est cette perpendicularité qui servira de règle de vérification à la planche suivante.

Le nombre d'or n'est pas le seul rectangle qui se reproduit. Le rectangle √2 se reproduit lui aussi — mais en se coupant en deux, pas en perdant un carré : c'est le principe du format A4, dont la moitié est un A5 semblable. Les rectangles dits « dynamiques » de Jay Hambidge, √2, √3, √5, φ, ont tous une propriété d'auto-similarité, et rien dans la géométrie ne désigne φ comme supérieur aux autres. Sa préférence est une affaire de culture, pas de mathématiques.

Le Corbusier définit le tracé régulateur d'une manière opératoire, et c'est sa force : deux rectangles sont dans le même rapport si et seulement si leurs diagonales sont parallèles ou perpendiculaires. Il suffit donc de poser une règle sur le dessin. Déplacez les lignes de la façade ci-dessous : la page cherche parmi tous les rectangles formés lesquels sont semblables entre eux, et trace leurs diagonales. On en trouve toujours — c'est déjà le début du problème.

diagonales parallèlesrectangle de proportion φ

Ce que Le Corbusier revendique exactement. Dans Vers une architecture, il présente les tracés régulateurs comme un instrument de satisfaction d'ordre spirituel, une garantie contre l'arbitraire — et non comme une loi de beauté. Il précise même qu'il les emploie après coup pour vérifier et corriger une composition déjà venue. Cette honnêteté est rare dans la littérature du sujet, et elle change tout : le tracé y est un outil de mise au point, pas une preuve.

En 1948 puis 1955, Le Corbusier publie une double échelle destinée à réconcilier le pied-pouce et le mètre en passant par le corps humain : la série rouge part du nombril à 113 cm, la série bleue de la main levée à 226 cm, et chacune progresse en raison φ. La page dresse l'échelle, calcule les rapports réels entre valeurs publiées et affiche l'écart à φ — car les nombres du Modulor sont des entiers arrondis au centimètre, et l'arrondi laisse des traces.

Une échelle, deux versions, un flottement. La première version du Modulor prend un homme de 175 cm — la taille française moyenne d'alors ; la seconde le porte à 183 cm, au motif que « dans les romans policiers anglais, les beaux hommes, tels les policiers, sont toujours de six pieds de haut ». L'anecdote est de Le Corbusier lui-même. Elle dit assez que le Modulor n'est pas une découverte anthropométrique mais une convention choisie, dont la vertu est d'être cohérente et partagée — ce qui est déjà beaucoup pour un outil de chantier.

L'élément décisif. Prenons le détecteur habituel de l'analyse proportionnelle — relever les lignes marquantes, former toutes les longueurs, calculer tous les rapports, signaler ceux qui approchent φ — et appliquons-le à des façades tirées au hasard, dont les divisions sont placées uniformément. Si le détecteur trouve φ aussi souvent dans le hasard que dans les chefs-d'œuvre, il ne démontre rien. Lancez l'épreuve : les façades défilent, les compteurs montent.

Ce que ce résultat ne dit pas. Il ne dit pas que les tracés régulateurs sont une illusion. Il dit que retrouver une proportion dans un relevé n'est pas une preuve qu'elle a été voulue, dès que le nombre de points relevés dépasse quelques unités. Les tracés attestés le sont par autre chose : un carnet, une épure, un devis, une correspondance — Villard, les expertises de Milan, les planches de Le Corbusier annotées de sa main. Là où ces documents manquent, comme pour le Parthénon ou Notre-Dame, l'analyse proportionnelle n'établit rien qu'elle n'ait supposé. La bonne question n'est pas « peut-on y inscrire le nombre d'or ? » — on le peut toujours — mais « l'architecte l'y a-t-il mis ? », et elle relève des archives plus que de la géométrie.