Cours de Mathématiques · Formes quadratiques
Une forme quadratique binaire f(x,y) = ax² + bxy + cy² de discriminant négatif est un réseau du plan vu par ses longueurs. Changer de base sans changer le réseau, c'est déplacer un point du demi-plan par le groupe modulaire ; réduire, c'est ramener ce point dans le domaine fondamental. Cinq planches pour voir l'algorithme de Gauss opérer, compter les classes, et finir sur les neuf discriminants solitaires.
La forme f(x,y) = ax² + bxy + cy² avec D = b² − 4ac < 0 et a > 0 ne prend que des valeurs positives. Elle s'écrit f(x,y) = a·|x − z·y|² où z est la racine de az² + bz + c = 0 située au-dessus de l'axe réel. À gauche le réseau engendré par 1 et z (mis à l'échelle √a) : les valeurs de f sont exactement les carrés des longueurs. À droite, le point z.
Le dictionnaire est complet dans les deux sens : a = carré de la longueur du premier vecteur de base, c = carré du second, b = deux fois leur produit scalaire, et Im z = √|D| / 2a. Le contrôle a·|z|² − c = 0 ci-dessus n'est pas une coïncidence : c'est la relation entre racines et coefficients.
Changer de base du réseau par une matrice de déterminant 1 ne change ni le réseau ni le discriminant. Deux mouvements suffisent à les engendrer tous : T qui translate le point d'une unité, et S qui le renverse à travers le cercle unité. Chaque tuile du pavage est une copie du domaine fondamental grisé — et chaque forme a exactement un représentant dedans.
Le domaine fondamental est |Re z| ≤ ½ et |z| ≥ 1. Les deux conditions se traduisent mot pour mot sur les coefficients : |b| ≤ a et a ≤ c. Une forme est réduite lorsque −a < b ≤ a ≤ c, avec b ≥ 0 si |b| = a ou a = c — ces deux clauses règlent le sort des bords du domaine, identifiés deux à deux.
L'algorithme n'a que deux règles, appliquées en boucle : ramener b dans l'intervalle (−a, a] par une translation, puis échanger a et c si a > c. Chaque translation abaisse |b|, chaque échange abaisse strictement a : la descente est finie. Suivez la trajectoire du point, qui tombe de tuile en tuile jusqu'au domaine fondamental.
La vérification porte sur l'essentiel : la matrice cumulée M a pour déterminant 1, et la substitution (x,y) ↦ M·(x,y) transforme exactement la forme de départ en la forme réduite, testée sur tous les couples d'entiers du carré [−6, 6]². Les deux formes représentent donc les mêmes entiers, avec les mêmes multiplicités.
Puisque |b| ≤ a ≤ c impose |D| = 4ac − b² ≥ 3a², les formes réduites d'un discriminant donné sont en nombre fini : c'est le nombre de classes h(D). Chaque classe occupe un point du domaine fondamental, et se réserve certains nombres premiers.
Quand h(D) = 1, une congruence suffit à décider : p = x² + y² exactement pour p ≡ 1 (mod 4). Dès que h(D) > 1, les congruences ne distinguent plus les classes qu'en partie — c'est la théorie des genres de Gauss, et au-delà la théorie du corps de classes. Le contrôle affiché compare, premier par premier, la représentabilité effective et le critère « D est un carré modulo 4p ».
Faisons croître |D| et déposons dans le domaine fondamental le point de chaque forme réduite. Le nuage s'épaissit : en moyenne h(D) croît comme √|D|. Mais certains discriminants n'apportent qu'un seul point. Parmi les discriminants fondamentaux, ce phénomène cesse net — et le dernier récalcitrant, −163, laisse une trace numérique spectaculaire.
Pourquoi 163 ? L'invariant modulaire j(z) = 1/q + 744 + 196884 q + … (avec q = e^{2iπz}) prend une valeur entière lorsque h(D) = 1. Pour z = (1+i√163)/2, on a q = −e^{−π√163}, minuscule : l'égalité 1/q + 744 ≈ entier force e^{π√163} à frôler un entier de moins d'un millième de milliardième. Le théorème de Heegner–Stark–Baker garantit qu'il n'y a aucun autre discriminant fondamental au-delà : la liste s'arrête, définitivement.