Ce qu'on a le droit de faire à une égalité — et ce qu'il reste à faire quand aucune formule ne s'applique
Une équation est une égalité entre deux expressions où figure une lettre inconnue : elle n'est ni vraie ni fausse tant qu'on n'a pas fixé cette lettre. La résoudre, c'est décrire exactement l'ensemble des valeurs qui la rendent vraie. Tout l'art tient dans une idée simple : remplacer l'équation par une autre, plus facile, qui a exactement les mêmes solutions. Les quatre premières planches suivent cette idée du premier degré jusqu'aux méthodes numériques ; la cinquième montre pourquoi, à partir du cinquième degré, aucune formule ne peut exister — sans que cela empêche de calculer les racines.
Chaque solution affichée est réinjectée dans l'équation de départ : c'est le résidu, et non la formule, qui fait foi. Les valeurs exactes de contrôle sont calculées en entiers longs, donc sans arrondi.
Une égalité se comporte comme une balance en équilibre : on peut ajouter la même chose des deux côtés, ou multiplier les deux côtés par un même nombre non nul, sans rompre l'équilibre. Ces deux gestes suffisent à résoudre toute équation du premier degré. À droite, les deux membres sont tracés comme deux droites : à chaque étape les droites changent, mais leur point de croisement, lui, ne bouge pas.
Ce que dit la planche. Les quatre étapes sont des équations équivalentes : chacune s'obtient de la précédente par une opération réversible, et toutes ont le même ensemble de solutions. La page le vérifie en recalculant, à chaque étape, l'abscisse du point où les deux droites se croisent : elle ne bouge pas d'un seul bit. Deux cas particuliers méritent le détour, atteignables aux curseurs : si a = c et b ≠ d, les droites sont parallèles et l'équation n'a aucune solution ; si a = c et b = d, elles sont confondues et tout nombre convient.
Toutes les opérations ne sont pas réversibles. Élever au carré peut ajouter des solutions ; diviser par une expression qui peut s'annuler en perd. D'où la règle : une fois les candidats trouvés, on les réinjecte dans l'équation de départ.
Dès que x² apparaît, on ne peut plus isoler x par simples déplacements. Le détour est ancien : on complète le carré, c'est-à-dire qu'on récrit ax² + bx + c sous la forme a(x − α)² + β, où l'inconnue ne figure plus qu'une fois. Le curseur ci-dessous fait glisser la parabole de sa position quelconque à cette position canonique.
Ce que dit la planche. Écrire a(x − α)² + β avec α = −b/2a et β = c − b²/4a rend la résolution immédiate : il ne reste qu'à extraire une racine carrée, ce qui n'est possible que si β et a sont de signes contraires — d'où le discriminant Δ = b² − 4ac. La page contrôle l'identité coefficient par coefficient, puis vérifie les relations de Viète : la somme des racines vaut −b/a et leur produit c/a.
La formule des racines est exacte en mathématiques ; en machine, elle peut perdre presque tous ses chiffres. Quand b² est très grand devant 4ac, √Δ est presque égal à |b|, et la soustraction des deux fait disparaître les chiffres significatifs.
Ce que dit le contrôle. Les coefficients étant entiers, la page calcule √Δ en entiers longs à quarante décimales exactes : la petite racine est donc connue sans arrondi, et sert d'arbitre. La formule naïve (−b + √Δ)/2a et la formule réordonnée 2c/(−b − √Δ), mathématiquement identiques, sont alors départagées : on compte les chiffres justes de chacune. C'est l'exemple le plus court de ce que coûte l'ordre des opérations.
Un système linéaire de deux équations, c'est deux droites du plan ; le résoudre, c'est chercher leur point commun. L'élimination de Gauss n'est rien d'autre que la règle de la balance appliquée à une ligne entière : on retranche d'une équation un multiple de l'autre, ce qui remplace une droite par une autre passant par le même point.
Ce que dit la planche. Le déterminant a₁b₂ − a₂b₁ décide de tout : non nul, les droites se coupent en un point unique ; nul, elles sont parallèles ou confondues. La solution est calculée deux fois, par la règle de Cramer et par élimination, et les deux résultats sont comparés. Le vrai enseignement est ailleurs : sur le préréglage « presque parallèles », la page déplace le second membre d'un millième et mesure de combien la solution saute. Le rapport entre les deux est encadré par le conditionnement de la matrice — un système peut être parfaitement soluble et pourtant indigne de confiance.
La plupart des équations rencontrées dans la nature ne se laissent pas isoler : cos x = x n'a pas de solution exprimable simplement. On change alors de but : au lieu d'une formule, on fabrique une suite qui s'approche de la racine, et on mesure à quelle vitesse elle s'en approche.
Ce que dit la planche. Le graphique de droite porte l'erreur en échelle logarithmique, itération par itération. La dichotomie descend d'une droite de pente constante : elle gagne un bit par pas, soit un facteur 2, quoi qu'il arrive. Newton, lui, plonge : le nombre de décimales justes double à chaque étape, ce que la page mesure en calculant le rapport log|ek+1| / log|ek|, qui tend vers 2. La sécante, qui se passe de dérivée, atteint 1,618 — le nombre d'or, exposant de la suite de Fibonacci cachée dans sa récurrence. Le bouton « Newton qui s'égare » rappelle le prix de cette vitesse : la méthode n'est sûre qu'assez près de la racine.
Du premier au quatrième degré, une formule en radicaux existe ; au cinquième, aucune — et ce n'est pas faute d'avoir cherché. Abel l'a démontré en 1824, Galois en a donné la raison en 1832 : elle tient au comportement des racines quand on promène un coefficient dans le plan complexe. Ci-dessous, les d racines de xd + x + t sont suivies pas à pas pendant que t décrit une boucle fermée. À l'arrivée, t est revenu exactement où il était ; les racines, elles, ont changé de place.
Ce que dit la signature. Les points de branchement sont les valeurs de t pour lesquelles le polynôme a une racine double ; la page les calcule exactement, puis suit les racines par continuation, chaque pas étant repris par la méthode de Newton jusqu'au résidu machine. Une boucle qui entoure un seul point de branchement échange deux racines : c'est une transposition. En composant ces échanges, on engendre tout un groupe de permutations. Au degré 2, 3 ou 4, ce groupe se démonte en étages commutatifs — chaque étage correspond à une extraction de racine, et l'on obtient une formule. Au degré 5, le groupe engendré est le groupe symétrique tout entier, qui contient le groupe alterné A₅, simple et non commutatif : il ne se démonte pas, et aucune suite d'extractions de racines ne peut reconstituer les solutions. La page vérifie que les racines reviennent bien sur l'ensemble de départ (à 10⁻¹³ près) tout en étant permutées, et affiche la permutation obtenue en cycles.
Le dernier bouton fait le tour de tous les points de branchement, relève la permutation de chacun, puis engendre le groupe qu'elles forment et en calcule la suite dérivée — la suite des groupes de commutateurs. Un groupe est dit résoluble quand cette suite finit par se réduire à l'identité ; chaque descente correspond alors à une extraction de racine dans la formule. C'est exactement là que le cinquième degré se sépare des autres.
Ce que ce théorème ne dit pas : il n'interdit pas de résoudre. Les racines existent, elles sont uniques, et la planche 4 les calcule à seize décimales en quelques itérations. Il interdit seulement de les écrire avec des racines carrées, cubiques et cætera. Une équation peut donc être parfaitement soluble et n'avoir aucune solution en formule fermée : c'est le cas le plus fréquent, pas l'exception.