P, Q, R : —
Six points A, B, C, D, E, F parcourent librement une ellipse. On trace les six côtés de l'hexagone, puis on prolonge les côtés opposés deux à deux : (AB) et (DE) se coupent en P, (BC) et (EF) se coupent en Q, (CD) et (FA) se coupent en R. Quelle que soit la position des six sommets, et quel que soit l'aplatissement de l'ellipse, les trois points P, Q, R demeurent sur une même droite, tracée en rouge sombre. L'hexagone choisi est volontairement irrégulier : dans un hexagone régulier, les côtés opposés sont parallèles et les trois points de rencontre sont rejetés à l'infini. L'indicateur ci-dessus mesure en permanence le sinus de l'angle entre les vecteurs PQ et PR : il reste nul, aux erreurs d'arrondi près.
Le résultat vaut pour toute conique — cercle, ellipse, parabole, hyperbole — car ces courbes se déduisent les unes des autres par projection, et l'alignement de trois points est une propriété conservée par projection. L'hexagone n'a pas besoin d'être convexe : les six points peuvent être pris dans un ordre quelconque sur la courbe, l'hexagone peut se croiser lui-même, le théorème subsiste. Si deux côtés opposés deviennent parallèles, leur point de rencontre part à l'infini : en géométrie projective, la droite de Pascal passe alors par ce « point à l'infini », et les deux autres intersections restent alignées avec lui.
Blaise Pascal découvre ce théorème en 1640, à l'âge de seize ans, et le publie dans un placard d'une page, l'Essay pour les coniques. Il y nomme la figure « hexagramme mystique ». Le cas particulier où la conique dégénère en deux droites était connu de Pappus d'Alexandrie dès le IVe siècle : le théorème de Pappus apparaît ainsi comme un cas limite du théorème de Pascal. En 1806, Charles-Julien Brianchon en établit l'énoncé dual : si un hexagone est circonscrit à une conique, ses trois diagonales sont concourantes.