Cinq planches animées : la droite, les puissances, l'inverse, l'exponentielle et son miroir logarithmique — puis ce qui arrive à toutes ces courbes quand on les regarde de très près. Chaque propriété annoncée est vérifiée numériquement à l'écran.
Planche 1
La droite : f(x) = ax + b
La famille la plus simple, et la seule dont la pente ne change jamais. Le point M parcourt la droite ; le petit triangle accroché à lui garde toujours la même forme.
Équation—
Ordonnée à l'origine f(0)—
Taux entre x₁ = −3,4 et x₂ = 2,6—
Écart avec a—
Racine f(x) = 0—
Alignement M, N, P (déterminant)—
Ce qu'il faut retenir. Le coefficient a est le taux d'accroissement : quand on avance de 1 en abscisse, on monte de a. Ce taux, mesuré entre deux points quelconques, redonne a au chiffre près — c'est la propriété caractéristique des fonctions affines. Deux cas particuliers : a = 0 donne une fonction constante, b = 0 une fonction linéaire, c'est-à-dire une situation de proportionnalité dont la droite passe par l'origine.
Planche 2
Les puissances : f(x) = xn
Faites varier l'exposant : la courbe se déforme continûment d'une puissance à la suivante. Deux comportements alternent selon la parité de n, et tous les tracés se donnent rendez-vous en deux points.
Parité de n—
Symétrie testée en x = 1,37—
Variations—
Valeur en x = 1—
En x = 0,5—
En x = 2—
Ce qu'il faut retenir. Si n est pair, la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (f(−x) = f(x), fonction paire) et la fonction admet un minimum en 0. Si n est impair, la symétrie est centrale par rapport à l'origine (f(−x) = −f(x), fonction impaire) et la fonction est croissante sur tout ℝ. Toutes passent par (0 ; 0) et (1 ; 1) : c'est en x = 1 que l'ordre des courbes s'inverse — avant, la plus grande puissance est la plus petite ; après, c'est l'inverse.
Planche 3
L'inverse : f(x) = y₀ + k / (x − x₀)
Une hyperbole que l'on peut déplacer. Le point M glisse sur la branche droite en traînant un rectangle qui se déforme sans cesse — mais dont l'aire, elle, ne bouge pas d'un chiffre.
Ensemble de définition—
Asymptotes—
Aire du rectangle en M—
Produit (x−x₀)(f(x)−y₀), trois abscisses—
Écart maximal au produit k—
Symétrie centrale autour de (x₀ ; y₀)—
Ce qu'il faut retenir. La valeur interdite x₀ ne sort jamais de l'ensemble de définition : c'est le seul point où le dénominateur s'annule. Les deux droites x = x₀ et y = y₀ sont les asymptotes ; la courbe s'en approche indéfiniment sans jamais les toucher. Le centre (x₀ ; y₀) est centre de symétrie de la courbe, et le rectangle construit sur M garde une aire égale à |k| : c'est exactement ce que dit l'équation, écrite autrement.
Planche 4
Exponentielle et logarithme : deux courbes, un miroir
Appuyez sur « Réfléchir » : la courbe de l'exponentielle bascule par-dessus la première bissectrice et vient se poser exactement sur celle du logarithme. L'une transforme les sommes en produits, l'autre fait le chemin inverse.
eu+v—
eu × ev—
Écart entre les deux—
ln(eu) − u—
ln(eu × ev) − (u+v)—
ex dépasse xm à partir de—
Ce qu'il faut retenir. Le logarithme népérien est la fonction réciproque de l'exponentielle : leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite y = x. L'exponentielle est définie sur ℝ et strictement positive ; le logarithme n'est défini que sur ]0 ; +∞[ et prend toutes les valeurs. La propriété fondamentale eu+v = eu × ev devient, dans le miroir, ln(ab) = ln a + ln b. Et quelle que soit la puissance choisie, l'exponentielle finit toujours par l'emporter : le point de croisement est calculé ici par dichotomie.
Planche 5 — élément signature
De près, elles se ressemblent toutes
Choisissez une famille, un point, puis grossissez. Quelle que soit la courbe de départ, la fenêtre finit par ne plus contenir qu'une droite : la tangente. L'écart résiduel est mesuré, et son rapport à h² converge vers une valeur que l'on connaît d'avance. Une seule des six courbes résiste au grossissement.
Point observé—
Demi-largeur de fenêtre h—
Écart maximal courbe / tangente—
soit, à l'écran—
Rapport mesuré 2d / h²—
Contrôle |f″(x₀)|—
Ce qu'il faut retenir. C'est la définition même de la dérivabilité : au voisinage d'un point, une fonction dérivable se confond avec une droite, sa tangente. L'écart n'est pas nul, mais il décroît comme le carré de la largeur de la fenêtre — d'où le rapport 2d/h² qui se stabilise sur |f″(x₀)|, la dérivée seconde. Diviser la fenêtre par 10, c'est diviser l'écart par 100. La fonction |x| observée en 0 est la contre-épreuve : son angle reste identique à tous les grossissements, elle n'a pas de tangente en ce point. Toute la théorie du calcul différentiel tient dans cette expérience de zoom.