La cycloïde, la tautochrone
et l'horloge de Huygens

Marquez un point sur le bord d'une roue et faites-la rouler sans glisser : le point décrit une cycloïde. Elle a deux propriétés que Galilée cherchait à établir par pesée de découpes de carton et que Roberval a démontrées : la longueur d'une arche vaut exactement huit fois le rayon, et l'aire qu'elle enferme trois fois celle de la roue. La page les vérifie par intégration numérique pendant que la roue tourne. Déplacez le point vers l'intérieur ou l'extérieur du cercle et l'on obtient les trochoïdes, courbes de la valve d'un pneu ou du bord d'une roue de locomotive.

La courbe qui a brouillé tout le monde. Au XVIIᵉ siècle la cycloïde est surnommée Hélène des géomètres, pour la beauté qu'on lui trouve et les querelles qu'elle suscite : Roberval, Descartes, Fermat, Torricelli, Pascal s'y disputent des priorités, souvent en cachant leurs démonstrations. Pascal, retiré des mathématiques, y revient une nuit de 1658 pour calmer une rage de dents, résout en huit jours les problèmes des aires et des centres de gravité, et lance un concours dont il gardera le prix.

Renversez l'arche et faites-en une piste. Lâchez cinq billes de cinq hauteurs différentes, sans vitesse initiale, en même temps. Elles arrivent au fond ensemble — et non pas presque, exactement. La raison tient à ce que l'abscisse curviligne comptée depuis le point bas vaut s = 4R·cos(t/2), et qu'en la dérivant deux fois on obtient l'équation d'un ressort. Sur la piste circulaire témoin, en revanche, les billes se débandent aussitôt.

cycloïdearc de cercle témoinbilles

Pourquoi l'isochronisme est exact et non approché. Sur une piste quelconque, l'accélération le long de la courbe vaut −g·sin α, où α est la pente : la force de rappel n'est pas proportionnelle au déplacement, et la période dépend de l'amplitude. Sur la cycloïde renversée, la pente est telle que sin α = s/4R exactement : la force de rappel devient rigoureusement linéaire, et l'on retrouve un oscillateur harmonique parfait, de période 2π√(4R/g) — celle d'un pendule simple de longueur 4R aux petites oscillations.

Autre question, même réponse. D'un point à un autre situé plus bas et de côté, quelle piste fait descendre une bille le plus vite ? Pas la ligne droite — elle est la plus courte, mais on y accélère trop tard. Il faut plonger d'abord pour prendre de la vitesse, quitte à allonger le chemin. La courbe optimale est encore la cycloïde. Lancez la course : les billes partent ensemble, la violette arrive la première.

Le défi de 1696. Jean Bernoulli publie le problème dans les Acta Eruditorum et met l'Europe savante au défi. Cinq solutions arrivent : la sienne, celle de son frère Jacques, celles de Leibniz, de L'Hospital — et une anonyme, venue de Londres. Bernoulli reconnaît son auteur à la manière, et lâche la phrase restée célèbre : on reconnaît le lion à sa griffe. Newton avait reçu le problème en rentrant de la Monnaie et l'avait résolu dans la nuit.

C'est la propriété qui rend l'horloge possible. Tendez un fil le long d'une cycloïde et déroulez-le : son extrémité décrit une courbe — la développante — et cette courbe est une cycloïde identique à la première, simplement déplacée. Donc si l'on veut qu'un pendule décrive une cycloïde, il suffit de faire buter son fil contre deux joues taillées en cycloïde. L'animation déroule le fil ; la page vérifie que les points obtenus tombent sur une cycloïde à la quinzième décimale.

joue cycloïdaledéveloppantefil tendu

Développée et développante. La développée d'une courbe est le lieu de ses centres de courbure ; la développante est l'inverse, la trace d'un fil qu'on déroule. Le fait remarquable est que la cycloïde soit sa propre développée, à un déplacement près — elle partage cette rare propriété d'auto-reproduction avec la spirale logarithmique, dont la développée est la même spirale tournée. Huygens démontre le résultat sur la cycloïde dans son Horologium oscillatorium de 1673, un livre où il fonde en passant la théorie des développées.

L'élément décisif : deux pendules côte à côte, lâchés de la même amplitude. À gauche le pendule ordinaire, dont la période croît avec l'amplitude ; à droite le pendule à joues cycloïdales, dont la période ne bouge pas. Le cadran compte l'écart accumulé. À 30° d'amplitude, un pendule circulaire prend vingt-cinq minutes de retard par jour sur un pendule cycloïdal — et c'est bien pour supprimer cela que Huygens a fait tailler ses joues.

Pourquoi les joues ont disparu. Le raisonnement de Huygens est juste et son horloge fonctionne — mais elle n'a pas survécu, pour trois raisons que l'histoire horlogère a mises au jour. Le frottement du fil sur les joues introduit une perte d'énergie et une usure qui déplacent le point de contact ; la souplesse et l'allongement du fil ruinent la précision que les joues sont censées apporter ; et surtout, un échappement bien conçu maintient l'amplitude si petite — deux ou trois degrés — que l'erreur circulaire tombe à quelques secondes par jour, moins que les autres défauts du mouvement. Le remède était plus coûteux que le mal. L'apport durable de Huygens n'est pas la joue cycloïdale : c'est le pendule lui-même, qui fait passer les horloges de quinze minutes d'erreur par jour à quinze secondes.