Choisir une action suppose souvent d'évaluer les chances de chaque avenir possible. Mais que faire quand on ne connaît pas exactement ces probabilités — seulement une fourchette, ou un ensemble de valeurs plausibles ? Cette page construit, planche après planche, une théorie de la décision qui n'exige plus une probabilité unique : le paradoxe d'Ellsberg montre d'abord pourquoi la précision est parfois hors de portée ; l'ensemble crédal donne une forme géométrique à l'incertitude ; les critères d'optimisme, de pessimisme et de regret en tirent des décisions concrètes sur un cas chiffré ; la planche finale referme la fourchette jusqu'à zéro et retrouve, à la limite, la théorie classique.
Deux urnes de 100 boules, rouges ou noires. L'urne A contient exactement 50 rouges et 50 noires : sa probabilité est connue. L'urne B contient 100 boules dans une proportion tenue secrète — elle pourrait tout aussi bien contenir 100 rouges que 100 noires. Un pari rapporte 10 € si la couleur annoncée sort.
Avant tout tirage, sur laquelle des deux urnes préférez-vous parier ?
Un placement financier dépend de l'état futur de l'économie : récession, stagnation ou croissance. Plutôt qu'une probabilité unique pour chaque état, on ne connaît qu'une fourchette — un intervalle [borne basse, borne haute]. L'ensemble des probabilités (pR, pS, pC) compatibles avec les trois fourchettes et avec pR+pS+pC=1 forme une région du triangle des probabilités : l'ensemble crédal. Déplacez les curseurs pour le voir se déformer.
Trois stratégies de placement, trois rendements selon l'état de l'économie (fixés une fois pour toutes) :
| Récession | Stagnation | Croissance | |
|---|---|---|---|
| Prudent | +1 % | +2 % | +3 % |
| Équilibré | −3 % | +4 % | +8 % |
| Offensif | −10 % | +2 % | +18 % |
Pour chaque action, l'espérance de rendement varie linéairement avec (pR,pS,pC) : son minimum et son maximum sur l'ensemble crédal (planche 2) sont donc atteints à l'un de ses sommets. Le critère de Γ-maximin retient l'action dont le pire cas est le meilleur ; le Γ-maximax, l'action dont le meilleur cas est le meilleur ; le critère d'Hurwicz les mélange selon un degré d'optimisme α.
| Action | Γ-maximin (pire cas) | Γ-maximax (meilleur cas) | Hurwicz(α) |
|---|
Le regret d'une action dans un état est l'écart entre son rendement et celui de la meilleure action possible dans cet état — le remords de ne pas avoir choisi autrement. Il est fixe, indépendant des probabilités :
| Récession | Stagnation | Croissance | |
|---|---|---|---|
| Prudent | |||
| Équilibré | |||
| Offensif |
Comme l'espérance de rendement, l'espérance de regret est linéaire en (pR,pS,pC) : son maximum sur l'ensemble crédal est donc, lui aussi, atteint à un sommet. Le critère du regret minimax choisit l'action qui minimise ce pire regret.
| Action | Regret maximal sur l'ensemble crédal |
|---|
Reprenons l'ensemble crédal actuel (planche 2) et resserrons-le, sans changer son centre, jusqu'à ce qu'il s'effondre en un seul point. Que deviennent les quatre critères de décision quand l'ambiguïté disparaît ?
À largeur nulle, l'ensemble crédal se réduit au point (pR,pS,pC) = centre des fourchettes : les quatre critères — qui ne différaient que par la façon de traiter l'ambiguïté — n'ont plus rien à départager, et retombent tous sur la même action, avec la même espérance, exactement celle que donnerait la théorie classique de la décision avec une probabilité unique. L'imprécis ne remplace pas le précis : il le contient.