La loi de Poisson est une loi de probabilité utilisée pour compter le nombre de fois qu’un événement se produit pendant une durée, sur une distance ou dans une zone donnée.
Supposons qu’un standard téléphonique reçoive en moyenne 3 appels par minute. La loi de Poisson permet de calculer la probabilité de recevoir, pendant une minute : aucun appel ; exactement 2 appels ; 5 appels ou davantage. Le nombre d’appels est aléatoire, mais son rythme moyen est connu.
function poissonRandom(lambda) { const L = Math.exp(-lambda); // le seuil e⁻λ let k = 0, p = 1; do { k++; p *= Math.random(); // produit d'uniformes u₁·u₂·…·u_k } while (p > L); return k - 1; }
Prendre le logarithme change le produit en somme : −ln(p) = −ln u₁ − ln u₂ − … Or si u est uniforme sur [0,1], alors −ln u suit la loi exponentielle de paramètre 1. L'algorithme additionne donc des durées exponentielles — les temps d'attente entre événements d'un processus de Poisson — et s'arrête dès que la somme dépasse λ.
Le nombre d'événements survenus avant l'instant λ dans un tel processus suit exactement la loi de Poisson : P(X = k) = e−λ λkk!. C'est ce que vérifie l'histogramme : les rectangles bleus (fréquences observées) s'ajustent aux bâtons rouges (probabilités théoriques) quand N grandit — avec moyenne et variance toutes deux égales à λ, signature de la loi de Poisson.
Le premier volet montre un tirage au ralenti : chaque multiplication fait chuter p sur l'échelle logarithmique ; le nombre de marches franchies avant de passer sous la ligne rouge e⁻λ, moins une, est la valeur tirée.
La loi de Poisson est adaptée lorsque :
- on compte des événements ;
- les événements se produisent de manière approximativement indépendante ;
- leur rythme moyen est stable ;
- deux événements ne se produisent pratiquement pas exactement au même instant ;
- le nombre d’événements possibles n’est pas fixé à l’avance.
Elle peut modéliser : les appels reçus ; les clients arrivant dans un magasin ; les accidents sur une route ; les pannes d’une machine ; les défauts sur une longueur de câble ; les erreurs typographiques par page ; les sinistres déclarés à un assureur, etc.
En résumé, la loi de Poisson répond à la question : Combien d’évènements surviendront dans un intervalle donné ? Lorsque ces événements sont indépendants et se produisent selon un rythme moyen approximativement constant.