Deux lois suffisent à reconstituer un triangle entier à partir de trois de ses six éléments : la loi des sinus et celle d'Al-Kashi. Reste à savoir laquelle employer, dans quel ordre, et à connaître le seul cas où la question n'a pas de réponse unique.
I. La loi des sinus II. Al-Kashi III. Les trois cas déterminés IV. Le cas ambigu V. L'aiguille
Dans tout triangle, le rapport d'un côté au sinus de l'angle opposé ne dépend pas du côté choisi : les trois rapports sont égaux, et leur valeur commune est le diamètre du cercle circonscrit. Déformez le triangle : le cercle bouge, l'égalité tient.
Le rayon est calculé indépendamment, par intersection des médiatrices ; le diamètre lu coïncide avec les trois rapports à — près, soit la précision de la machine. La démonstration tient en une ligne : l'angle inscrit  et l'angle au centre interceptent le même arc a, d'où a = 2R sin Â.
Les trois carrés construits sur les côtés ne s'équilibrent qu'à l'angle droit. Ailleurs il manque — ou il reste — exactement 2bc cos Â. Faites tourner l'angle : le carré rouge rattrape ou dépasse la somme des deux autres.
Le terme correctif est nul pour  = 90° : on retombe alors sur Pythagore, dont Al-Kashi n'est que la version générale. Le signe du cosinus fait le reste :  aigu ⇒ a² < b² + c²,  obtus ⇒ a² > b² + c². Un triangle se dit obtus dès qu'un seul de ses angles l'est — et il ne peut y en avoir qu'un.
Trois éléments bien choisis fixent le triangle sans ambiguïté : trois côtés (CCC), deux côtés et l'angle qu'ils encadrent (CAC), un côté et les deux angles qui le bordent (ACA). Dans chaque cas la marche à suivre change, et l'ordre des opérations n'est pas indifférent.
Une règle pratique se dégage : on calcule les angles par Al-Kashi, jamais par la loi des sinus. L'arc cosinus distingue l'aigu de l'obtus, l'arc sinus non — il rend toujours un angle inférieur à 90° et perdrait silencieusement l'angle obtus du triangle. La loi des sinus reste en revanche la meilleure pour obtenir un côté manquant, une fois les angles connus.
Donnez b, l'angle  et le côté a opposé à cet angle : le sommet B est cherché sur la demi-droite [Ax) par un cercle de rayon a centré en C. Un cercle et une droite se coupent en deux points, en un seul, ou en aucun — d'où zéro, un ou deux triangles solutions.
Le partage se lit sur la hauteur h = b sin Â, distance de C à la droite (Ax). Pour  aigu : a < h aucun triangle, a = h un seul (rectangle en B), h < a < b deux, a ⩾ b un seul — le second point d'intersection tombe alors du mauvais côté de A. Pour  obtus, seul a > b donne une solution. Les deux angles possibles en B sont supplémentaires : leur somme vaut exactement 180°, ce que confirme le contrôle ci-dessus.
La formule de Héron donne l'aire d'un triangle à partir de ses seuls côtés. Elle est exacte en algèbre, et ruineuse en arithmétique flottante : sur un triangle presque plat, elle perd la moitié des chiffres significatifs. La même identité, réordonnée par William Kahan, les garde tous. À gauche l'aiguille (fortement dilatée en hauteur), à droite le nombre de chiffres exacts.
La courbe rouge est une moyenne sur seize aiguilles voisines : cas par cas, la perte dépend des arrondis particuliers et fait des dents de scie — le cercle marque le cas exactement affiché, qui peut tomber au-dessus ou au-dessous de la tendance. La référence, elle, n'est pas approchée : l'aire du triangle dont les côtés valent exactement les trois nombres flottants affichés est calculée en entiers de précision arbitraire, puis comparée. Le coupable du naïf est la soustraction s − a : deux nombres presque égaux dont la différence, minuscule, hérite de l'erreur d'arrondi des deux grands. Kahan trie les côtés et regroupe les facteurs de façon qu'aucune soustraction catastrophique ne subsiste. Morale : une identité vraie n'est pas un algorithme valable.