Une gaussienne d'aire 1 que l'on resserre indéfiniment ne converge vers aucune fonction : sa hauteur explose. Elle converge pourtant, au sens des distributions, vers un objet parfaitement défini — celui qui à toute fonction test φ associe φ(0).
Ce que l'on veut illustrer
Pour σ > 0, on pose gσ(x) = exp(−x²/2σ²) ⁄ (σ√(2π)). Chaque gσ est une vraie fonction, d'intégrale 1.
Alors, pour toute fonction test φ ∈ 𝒟(ℝ) : ∫ gσ(x) φ(x) dx ⟶ φ(0) quand σ → 0.
Autrement dit gσ → δ dans 𝒟′(ℝ). La convergence n'a lieu ni ponctuellement (en 0 la suite tend vers +∞), ni dans L¹ : elle n'existe que contre les fonctions test.
Faites décroître σ. L'aire hachurée vaut toujours 1 ; la hauteur, elle, vaut 1⁄(σ√(2π)) et n'a pas de limite finie. C'est exactement pourquoi δ ne peut pas être une fonction.
En échelle adaptée, la courbe ne bouge plus : toutes les gaussiennes sont semblables entre elles, gσ(x) = (1/σ)·g1(x/σ). Le paquet ne change pas de forme, il change d'échelle — un pic infiniment fin et infiniment haut d'aire finie.
Une distribution ne se lit pas point par point : elle se lit par ce qu'elle rend quand on l'intègre contre une fonction test φ, lisse et à support compact. À gauche, le produit gσ·φ ; son aire est le nombre ⟨gσ, φ⟩. À droite, ce nombre suivi pendant que σ décroît.
L'écart se comporte comme ½σ²φ″(a) : divisez σ par 10, l'erreur est divisée par 100. Le pic « moyenne » φ sur une largeur σ, et cette moyenne tend vers la valeur ponctuelle parce que φ est continue. Toute la théorie tient dans ce glissement : on remplace « la valeur en un point » par « une moyenne infiniment concentrée ».
La primitive de gσ est Φ(x/σ), qui tend vers la fonction de Heaviside H. Passer à la limite dans la dérivation donne H′ = δ — une égalité fausse pour les fonctions, vraie pour les distributions. À droite, la dérivée g′σ forme un dipôle qui tend vers δ′.
La définition ⟨T′, φ⟩ = −⟨T, φ′⟩ n'est que l'intégration par parties érigée en règle. On la vérifie ici numériquement : l'aire du dipôle contre φ tend vers −φ′(0), c'est-à-dire ⟨δ′, φ⟩.
Élément signature — la forme n'a pas d'importance
Rien n'oblige à partir d'une gaussienne. Tout noyau d'intégrale 1 qui se concentre en 0 converge vers δ. Six familles très dissemblables — dont deux qui changent de signe et oscillent sans fin — donnent le même nombre à la limite : φ(0).
| noyau | valeur en 0 | ⟨Kε, φ⟩ | écart à φ(0) |
|---|
Le noyau de Dirichlet, sin(x/ε)⁄(πx), ne tend vers 0 en aucun point x ≠ 0 : il oscille de plus en plus vite avec une amplitude qui ne décroît pas. Il converge pourtant vers δ — les oscillations se compensent dès qu'on les intègre contre une fonction lisse. C'est la démonstration la plus nette qu'une convergence de distributions n'est pas une convergence de fonctions : c'est la convergence d'une suite de mesures, de relevés.
Laurent Schwartz, Théorie des distributions (1950–1951) : médaille Fields 1950. Le passage à la limite illustré ici s'appelle une approximation de l'unité — les noyaux gσ sont des unités approchées pour la convolution, puisque gσ ∗ f → f et que δ ∗ f = f.