La chaînette et la ligne de poussée

Quarante-huit maillons, deux attaches, la pesanteur. Aucune forme n'est imposée : la simulation résout, image après image, les contraintes de longueur, et la chaîne se pose exactement sur la courbe y = a·cosh(x/a). La poussée horizontale H y est constante d'un bout à l'autre — c'est cette constante qui deviendra, une fois la courbe retournée, la poussée de l'arc sur ses culées.

chaîne simuléechaînette théoriqueparabole

Ce que dit la courbe. La tension en un point vaut le poids d'une longueur de chaîne égale à la hauteur de ce point au-dessus de la directrice, à la distance a sous le sommet. Tendez la chaîne — augmentez a — et la poussée horizontale explose : à la limite d'une chaîne parfaitement tendue, elle deviendrait infinie. C'est déjà tout le problème des arcs surbaissés.

La chaînette n'est funiculaire que pour son propre poids, réparti le long de la courbe. Chargez uniformément par mètre horizontal — un tablier de pont — et la forme d'équilibre devient une parabole. Le cercle, lui, n'est funiculaire d'aucun chargement naturel : voilà pourquoi un arc en plein cintre a besoin d'épaisseur. À faible flèche les trois courbes se confondent presque ; c'est en montant qu'elles divergent.

chaînette renverséeparabolearc de cercle

La loi des arcs surbaissés. Pour une charge uniforme, H = wL²/8f : la poussée est inversement proportionnelle à la flèche. Diviser la flèche par deux double la poussée sur les culées — un arc plat n'est pas plus économique, il est simplement plus exigeant pour ce qui le retient. Les ponts en anse de panier du XVIIIe siècle et les contreforts massifs qu'ils réclament sont les deux faces de cette même formule.

1742 : la coupole de Saint-Pierre de Rome est fissurée, et trois mathématiciens concluent à la ruine prochaine. Giovanni Poleni reprend en 1748 l'intuition de Hooke et la met en nombres : il suspend une chaîne dont chaque maillon porte un poids proportionnel à celui du tronçon de coupole correspondant — la lanterne comprise — puis retourne la courbe obtenue et la superpose au profil. Elle tient dans l'épaisseur : la coupole est fissurée mais stable. Elle l'est toujours.

Pourquoi la coupole peut être fissurée sans être en danger. Une coupole intacte travaille aussi en cerclage : les parallèles reprennent la traction. Dès qu'elle se fend selon ses méridiens, ce mécanisme disparaît et chaque fuseau devient un arc indépendant — c'est exactement l'objet que Poleni met en équilibre avec sa chaîne. Les fissures ne sont donc pas le début de la ruine : elles sont le passage à un autre schéma statique, celui-là même que le calcul valide.

Un arc en plein cintre d'épaisseur uniforme, sous son seul poids. La ligne de poussée est calculée exactement : en chaque joint, elle passe à la distance r = (y₀H + S(θ)) / (W(θ)sin θ + H cos θ) du centre. Deux inconnues seulement — la poussée H et le point de passage au sommet y₀ — et une seule question, celle du théorème de sécurité de Heyman : s'il existe une ligne de poussée entièrement contenue dans la maçonnerie, l'arc tient. Peu importe laquelle : il suffit qu'il y en ait une.

ligne de pousséerotule à l'extradosrotule à l'intrados

Les trois hypothèses de Heyman (1966). La maçonnerie ne résiste pas à la traction ; elle résiste infiniment à la compression ; les joints ne glissent pas. Elles sont fausses au sens strict et excellentes en pratique : les contraintes réelles dans une voûte de pierre valent quelques pour cent de la résistance du matériau. La ruine d'une voûte n'est presque jamais un écrasement — c'est une question de géométrie, et la vraie inconnue n'est pas la charge mais la forme.

L'élément décisif. Faites maigrir l'arc : le faisceau des lignes de poussée admissibles — dessiné ici en entier — se resserre. À t/R = 0,1075 il ne reste qu'une seule ligne possible, tangente à l'extrados au sommet, à l'intrados à 54,5°, à l'extrados aux naissances. En dessous, plus aucune ligne ne tient dans la pierre : les trois points de tangence deviennent des rotules, cinq en comptant la symétrie, et l'arc devient un mécanisme. Il ne s'écrase pas — il se déplie.

Le nombre de Couplet. Posé par Pierre Couplet en 1729, le problème de l'épaisseur minimale d'un arc en plein cintre a reçu sa réponse exacte de Jacques Heyman en 1969 : t/R = 0,1075, rotule d'intrados à 54,5° du sommet. Les arcs réels sont bien plus épais — 0,2 à 0,4 pour un arc romain — soit un coefficient géométrique de sécurité de 2 à 4. Ce coefficient ne porte pas sur une contrainte admissible mais sur une épaisseur : la marge d'un maçon n'est pas de la matière en réserve, c'est de la place pour que la ligne de poussée se déplace quand les culées cèdent, quand une surcharge passe, quand le cintre est décintré.