Cours de Mathématiques - Analyse: Limites et continuité
La notion qui fonde toute l'analyse tient en une phrase à deux quantificateurs : pour tout ε, il existe δ. Cinq planches pour la rendre visible — le jeu des deux bandes, les quatre façons de rompre la continuité, les asymptotes, la dichotomie — et pour finir une courbe continue partout, qui ne se laisse redresser par aucun grossissement.
Planche 1
Le jeu du ε et du δ
Un adversaire impose une bande horizontale de demi-hauteur ε autour de L = f(a). Il faut lui répondre par une bande verticale de demi-largeur δ telle que tout le morceau de courbe qu'elle contient reste dans la bande horizontale. La fonction est continue en a si l'on gagne à tous les coups, si petit que soit ε.
Limite visée L = f(a)—
Tolérance ε—
Plus grand δ qui convient—
Rapport δ / ε—
Contrôle 1 / |f′(a)|—
Écart maximal dans la bande—
Ce qu'il faut retenir.δ dépend de ε — c'est tout le sens de l'ordre des quantificateurs. Là où la courbe est raide, il faut resserrer davantage : le rapport δ/ε tend vers 1/|f′(a)|. Et quand la tangente est horizontale, ce rapport explose, car δ se comporte alors comme √ε : la continuité est acquise, mais avec une marge bien plus confortable. Une fonction est continue sur un intervalle si elle l'est en chacun de ses points.
Planche 2
Quatre façons de rompre la continuité
On approche de zéro et on grossit. Quatre comportements possibles, et un seul se répare : le trou. Les valeurs affichées sont échantillonnées de part et d'autre, à des distances de plus en plus petites.
Limite à gauche—
Limite à droite—
Valeur en 0—
Échantillon à ±h avec h = 10⁻⁶—
Amplitude sur ]0 ; h]—
Verdict—
Ce qu'il faut retenir. Trois conditions doivent être réunies pour la continuité en un point : la fonction doit y être définie, les limites à gauche et à droite doivent exister et être égales, et cette limite commune doit valoir f(0). Le trou de sin(x)/x ne viole que la première : on répare en prolongeant par continuité, c'est-à-dire en posant f(0) = 1. Le saut viole la deuxième et rien ne peut le réparer. L'oscillation de sin(1/x) est le cas le plus violent : la fonction ne s'approche d'aucune valeur, et l'amplitude reste égale à 2 quel que soit le grossissement.
Planche 3
Limites à l'infini et asymptotes
La division euclidienne du numérateur par le dénominateur sépare la partie qui grandit de celle qui s'efface. Le panneau du bas suit l'écart entre la courbe et son asymptote oblique, jusqu'à x = 10 000.
Fonction—
Division euclidienne—
Asymptote verticale—
Asymptote oblique—
Écart à l'asymptote en 10, 10², 10³, 10⁴—
Écart × (x − r), contrôle = reste—
Ce qu'il faut retenir. Dire que la droite y = mx + k est asymptote en +∞, c'est dire que f(x) − (mx + k) tend vers 0. Ici la division donne f(x) = x + (p+r) + R/(x−r) : le reste s'efface comme 1/x, et son produit par (x−r) reste rigoureusement égal à R. La position de la courbe par rapport à l'asymptote se lit sur le signe de R. Quand R = 0, la courbe est la droite, privée d'un point.
Planche 4
Le théorème des valeurs intermédiaires, et sa preuve en marche
Une fonction continue qui passe d'un côté à l'autre d'une valeur doit forcément la traverser. La dichotomie ne fait pas que le vérifier : elle le démontre, en construisant la solution. Chaque étape divise l'incertitude par deux — l'entonnoir du bas le montre.
Étape—
Encadrement courant—
Largeur—
Contrôle : largeur × 2n—
Valeur atteinte f(mₙ) − k—
Verdict—
Ce qu'il faut retenir. Le théorème dit : si f est continue sur [a ; b] et si k est compris entre f(a) et f(b), alors l'équation f(x) = k admet au moins une solution. La dichotomie construit deux suites adjacentes qui enserrent une solution ; c'est la continuité, et elle seule, qui garantit que la valeur limite est bien atteinte. Le quatrième bouton en fait la démonstration par l'absurde : avec une fonction qui saute, l'encadrement se resserre exactement de la même façon, mais f(mₙ) − k refuse obstinément de tendre vers 0.
Planche 5 — élément signature
Continue partout, dérivable nulle part
Weierstrass, 1872 : W(x) = Σ aⁿ cos(bⁿπx). La convergence est uniforme, donc la fonction est continue en tout point. Et pourtant aucun grossissement ne la redresse : là où une courbe dérivable finit par se confondre avec sa tangente, celle-ci reproduit indéfiniment sa propre rugosité.
Paramètres—
Reste de la série (continuité)—
Termes visibles à ce grossissement—
Taux d'accroissement moyen sur h—
Pente mesurée en log-log—
Contrôle α − 1 avec α = ln(1/a)/ln b—
Ce qu'il faut retenir. Continuité et dérivabilité ne sont pas deux degrés d'une même échelle : la première n'entraîne nullement la seconde. Chaque terme aⁿ cos(bⁿπx) est parfaitement lisse, son amplitude est divisée par 2 et sa fréquence multipliée par 5 : l'amplitude s'efface — d'où la continuité — mais la pente, elle, est multipliée par ab = 2,5 à chaque rang, et diverge. Le panneau du bas mesure cette divergence : le taux d'accroissement moyen croît comme hα−1, exposant négatif, donc sans limite finie quand h → 0. Weierstrass a scandalisé ses contemporains avec cet exemple ; on sait aujourd'hui que ces fonctions sont le cas général — c'est la régularité qui est l'exception.