Les intérêts composés

Avant les versements répétés, le mécanisme de base : un capital C₀ placé une seule fois grandit chaque mois du taux mensuel i = t / 12. Après k mois, il vaut C₀·(1+i)ᵏ. La courbe se construit ici mois par mois — par la boucle — puis se compare à la formule fermée.

Le taux annuel affiché t n'est pas le taux réellement gagné en un an : en capitalisant t/12 chaque mois, on obtient au bout de 12 mois un peu plus que t, à cause des intérêts sur les intérêts déjà versés. Le contrôle ci-dessus compare ce taux annuel « réellement constaté » à t, ainsi que le temps de doublement exact (résolu par dichotomie) à l'estimation rapide de la règle des 72.

Chaque versement mensuel V est un petit capital unique comme en planche 1, mais tous ne grandissent pas le même temps : celui du premier mois capitalise pendant n−1 mois, celui du dernier mois ne capitalise pas du tout — d'où l'escalier décroissant des barres à gauche. Leur somme, reconstruite mois après mois à droite, égale la formule fermée de l'annuité.

La somme des n versements géométriques donne V·((1+i)ⁿ−1)/i : c'est la formule de l'annuité, ici reconstruite terme à terme puis confrontée à un calcul indépendant par récurrence (Cₖ = Cₖ₋₁·(1+i) + V). C'est cette même formule qui alimente le simulateur de la planche 3.

Réglez librement le versement V, le taux annuel t et la durée n. L'aire bleue est ce que vous avez vous-même versé mois après mois ; l'aire orange, empilée par-dessus, représente les intérêts composés accumulés. La courbe noire au sommet est le capital total.

Un versement placé en début de mois profite d'un mois de capitalisation de plus que le même versement placé en fin de mois : le capital final est alors exactement multiplié par (1+i). L'écart entre les deux modes, affiché ci-dessus, grandit avec le taux et la durée.

Deux épargnants, le même versement mensuel V et le même taux t, sur un même horizon total de N mois. A verse pendant les d premiers mois puis s'arrête — son capital continue seul à composer jusqu'au bout. B attend ces mêmes d mois sans rien verser, puis épargne sans interruption jusqu'à la fin. Qui l'emporte ?