Le sinus envoie une infinité d'angles sur un même nombre. Pour revenir en arrière il faut donc choisir — et ce choix, une fois fait, se paie : un domaine mutilé, une composition qui n'est plus l'identité, un angle polaire que l'arc tangente seul ne sait pas rendre. Cinq planches sur ce que coûte le retour.
I. Le choix d'une branche II. Les trois arcs III. L'aller-retour IV. L'angle polaire V. π par les arcs tangentes
Une droite horizontale coupe la sinusoïde une infinité de fois : le sinus n'est pas injectif, il ne peut donc pas avoir de réciproque tel quel. On mutile son domaine — on ne garde que [−π/2, π/2], arc où il croît de −1 à 1 — et cette branche-là, retournée autour de la première bissectrice, devient l'arc sinus.
Toutes les solutions se rangent en deux familles : θ = arcsin k + 2nπ et θ = π − arcsin k + 2nπ. L'arc sinus n'en rend qu'une seule, celle de la branche retenue — c'est la définition même d'une valeur principale. Le retournement autour de la bissectrice y = x échange abscisses et ordonnées : la tangente horizontale de la sinusoïde en ±π/2 devient une tangente verticale de l'arc sinus en ±1, et c'est pourquoi sa dérivée 1/√(1−x²) explose aux bords.
Un même nombre x se lit de trois façons sur le cercle trigonométrique : comme une ordonnée, comme une abscisse, ou comme une longueur portée sur la tangente menée en (1, 0). D'où trois angles, trois fonctions — et trois domaines différents, car les deux premières lectures exigent |x| ⩽ 1 tandis que la troisième accepte tout.
Les images ne se ressemblent pas : arc sinus décrit [−π/2, π/2], arc cosinus [0, π], arc tangente l'intervalle ouvert ]−π/2, π/2[, qu'il approche sans jamais l'atteindre — ses deux asymptotes. La somme arcsin x + arccos x = π/2 tient pour tout x admissible : les deux angles sont complémentaires, ce que la figure de gauche montre d'un trait. Quant à arctan x + arctan(1/x), elle vaut +π/2 pour x > 0 et −π/2 pour x < 0 : le saut de signe est la trace du changement de quadrant.
Dans un sens tout va bien : sin(arcsin x) = x pour tout x de [−1, 1]. Dans l'autre, l'égalité arcsin(sin θ) = θ n'est vraie que sur la branche principale. Ailleurs, la fonction replie l'axe sur lui-même : au lieu de la droite y = θ, on obtient une onde triangulaire — et pour l'arc tangente, une dent de scie.
L'écart affiché en rouge n'est pas une erreur de calcul : c'est la distance entre θ et son représentant sur la branche principale, et elle croît sans borne. Le contrôle vert dit l'essentiel : le repliement conserve le sinus à l'epsilon machine près. Autrement dit la composition ne perd rien de l'information utile — elle perd seulement le nombre de tours, que l'arc sinus n'a jamais eu les moyens de connaître.
Retrouver l'angle d'un point à partir de ses coordonnées semble un travail pour l'arc tangente. Mais le quotient y/x est le même pour un point et pour son symétrique par rapport à l'origine : arctan les confond, et rend un angle toujours compris entre −90° et 90°. Deux quadrants sur quatre sont perdus.
La fonction atan2(y, x), présente dans tous les langages, règle le problème en examinant les signes des deux coordonnées séparément avant de conclure : elle rend l'angle sur tout l'intervalle ]−π, π]. Elle traite aussi le cas x = 0, où le quotient y/x n'existe pas. La règle manuelle équivalente : ajouter 180° si x < 0 et y ⩾ 0, retrancher 180° si x < 0 et y < 0. Le saut visible à gauche du graphe de droite n'est pas un défaut d'atan2 : c'est la coupure inévitable de l'argument, qu'il faut bien placer quelque part.
L'arc tangente possède une série entière d'une simplicité désarmante, et arctan 1 = π/4. On tient donc π — sauf que la série y converge si lentement qu'elle est inutilisable. Tout l'art consiste à casser π/4 en arcs tangentes de petits nombres, qui convergent, eux, à toute vitesse. À gauche l'identité d'Euler tracée sur le quadrillage, à droite la course des trois formules.
La figure de gauche est une démonstration sans mots : on parcourt q fois le vecteur OA = (p, 1) pour atteindre F = (pq, q), puis on tourne d'un quart de tour et l'on fait un pas de la même longueur, FB = (−1, p), pour atteindre B = (pq − 1, p + q). Tous ces points sont des nœuds du quadrillage, le triangle OFB est rectangle en F avec des côtés dans le rapport 1 à q : le second angle vaut donc exactement arctan(1/q), et l'angle total en O vaut arctan(1/p) + arctan(1/q). Pour p = 2 et q = 3 seulement, B se trouve sur la première bissectrice : la somme vaut alors 45°, c'est l'identité d'Euler arctan ½ + arctan ⅓ = π/4. À droite, dès qu'on développe arctan(1/q) la pente est exactement log₁₀(q²) décimales par terme : 0,60 pour Euler, 1,40 pour Machin. Leibniz, lui, ne donne même pas une droite — arctan 1 est au bord du disque de convergence, son erreur ne décroît qu'en 1/2N et ses décimales croissent comme log₁₀(N) : il faut doubler le nombre de termes pour gagner trois dixièmes de chiffre, soit de l'ordre de mille milliards de termes pour douze décimales. Une série ne vaut que par le nombre qu'on lui donne à élever aux puissances.