Les hypothèses et l’expérience
On relève n mesures (temps de réaction, en centisecondes) et l’on se demande si elles peuvent provenir d’une loi normale — peu importe laquelle.
Les données suivent une loi normale N(μ, σ), μ et σ inconnus.
Les données ne suivent aucune loi normale (asymétrie, queues lourdes…).
La forme de l’échantillon
L’histogramme donne une première impression, que l’on compare à la densité normale ajustée sur x̄ et s. Mais l’œil est mauvais juge sur un petit échantillon : même une vraie loi normale produit des histogrammes bosselés. Il faut un critère chiffré.
La droite de Henry et la statistique W
On trie les données, puis on trace chaque x(i) face au quantile normal théorique mi attendu pour le i-ième rang. Si la loi est normale, les points s’alignent. Shapiro et Wilk chiffrent cet alignement :
Les coefficients ai, calculés depuis les quantiles mi (approximation de Royston), forment la « pente idéale » : W vaut essentiellement le carré de la corrélation du graphique ci-dessous. Points alignés ⇒ W proche de 1 ; toute déformation — courbure, S, queues décrochées — fait chuter W.
La transformation de Royston et la décision
La loi exacte de W est intraitable, mais Royston (1995) a montré que z = ( ln(1 − W) − μn ) / σn suit approximativement une loi normale centrée réduite sous H₀, avec μn et σn ne dépendant que de n. Un W trop petit devient un z trop grand : on rejette à droite.