Remonter la dérivation, mesurer une aire : deux problèmes qui semblent étrangers l'un à l'autre, et qu'un seul théorème réunit. Cinq planches, de la somme de rectangles jusqu'à une aire dont aucune formule ne peut donner la valeur — sauf une, et elle vaut √π.
Planche 1
L'aire prise en sandwich : les sommes de Riemann
On découpe, on empile des rectangles, on resserre. Les sommes inférieure et supérieure encadrent l'aire et se rejoignent : c'est cette rencontre qui définit l'intégrale, bien avant qu'on sache la calculer.
Somme calculée—
Aire exacte F(b) − F(a)—
Erreur—
Encadrement de Darboux—
Largeur de l'encadrement—
Erreur × np et sa valeur limite—
Ce qu'il faut retenir. L'intégrale n'est pas définie par une formule mais par un passage à la limite : la somme inférieure ne peut que monter, la somme supérieure ne peut que descendre, et pour une fonction continue elles se rejoignent en un unique nombre. Le choix du point d'évaluation dans chaque tranche change la vitesse de convergence, pas la limite : à gauche ou à droite l'erreur décroît comme 1/n, au milieu ou par trapèzes comme 1/n². La constante affichée est celle que prévoit la formule d'Euler–Maclaurin.
Planche 2
La fonction aire, et le théorème fondamental
On laisse la borne de droite se promener. L'aire devient alors une fonction de x, tracée en bas. Sa pente en chaque point, mesurée à l'écran, est exactement la hauteur de la courbe du haut.
Aire A(x) par quadrature—
F(x) − F(a)—
Écart entre les deux—
Pente mesurée (A(x+h) − A(x)) / h—
Hauteur f(x)—
Écart pente − hauteur—
Ce qu'il faut retenir. C'est le théorème fondamental de l'analyse : si f est continue, la fonction aire A(x) = ∫ax f(t) dt est dérivable et A′ = f. Autrement dit, l'aire est une primitive de la fonction. Déplacer la borne a translate la courbe du bas verticalement sans jamais la déformer — parce que cela ne change qu'une constante. Intégrer et dériver sont bien deux opérations inverses l'une de l'autre.
Planche 3
Les primitives : un faisceau de courbes parallèles
Toutes les primitives d'une même fonction se déduisent l'une de l'autre par une translation verticale. À une abscisse donnée, leurs tangentes sont rigoureusement parallèles — elles ont toutes la pente f(x). Une condition initiale suffit à en choisir une seule.
Primitives—
Celle qui passe par (x₀ ; y₀)—
Pente commune en x₀—
Écart max |F′(x) − f(x)|, 400 points—
Différence de deux primitives—
Nombre de primitives—
Ce qu'il faut retenir. Si F et G sont deux primitives de f sur un intervalle, alors (F − G)′ = 0, donc F − G est constante : les primitives forment une famille à un paramètre, ni plus ni moins. C'est pourquoi on écrit toujours « + C ». Le mot intervalle est essentiel : sur ℝ*, réunion de deux intervalles, une fonction comme 1/x admet des primitives dont la constante peut différer d'une branche à l'autre.
Planche 4
Calculer : aires signées, Chasles, inversion des bornes
Une fois la primitive connue, l'intégrale se lit en deux valeurs. Mais attention : ce que mesure ∫ab f n'est pas une aire au sens du maçon — c'est une aire algébrique, comptée négativement sous l'axe.
∫ab f par quadrature—
F(b) − F(a)—
Écart—
Aire géométrique ∫ |f|—
Chasles : ∫ac + ∫cb − ∫ab—
Bornes inversées : ∫ab + ∫ba—
Ce qu'il faut retenir. Trois règles suffisent à manipuler les intégrales : la relation de Chasles, qui permet de découper l'intervalle où l'on veut ; l'inversion des bornes, qui change le signe ; et la linéarité. La distinction entre aire algébrique et aire géométrique est la source d'erreur la plus fréquente : pour obtenir une aire au sens usuel quand la courbe traverse l'axe, il faut découper aux racines et sommer les valeurs absolues — exactement ce que fait la lecture « aire géométrique ».
Planche 5 — élément signature
Une aire sans formule, qui vaut pourtant √π
La cloche e−x² est continue, donc elle admet des primitives — le théorème le garantit. Mais aucune ne s'écrit avec les fonctions usuelles : c'est un théorème de Liouville, pas un aveu d'impuissance. La valeur, elle, se calcule à volonté, et l'aire totale au carré redonne π.
Aire ∫0x e−t² dt—
Limite √π / 2—
Aire totale ∫−∞+∞, mesurée—
Son carré, comparé à π—
Ordres mesurés (rectangles / trapèzes / Simpson)—
Précision atteinte par Simpson à n = 64—
Ce qu'il faut retenir. « Ne pas avoir de primitive élémentaire » ne veut pas dire « ne pas avoir de primitive ». La fonction aire existe, elle est dérivable, elle est tabulée depuis deux siècles sous le nom de fonction d'erreur — et le graphique du bas montre que sa valeur s'obtient à autant de décimales qu'on veut : en échelle logarithmique, les erreurs des trois méthodes sont des droites de pentes −1, −2 et −4, mesurées ici sur le tracé. Quant au résultat ∫−∞+∞ e−x² dx = √π, il s'obtient en passant par une intégrale double en coordonnées polaires : un détour par la dimension supérieure pour résoudre un problème de dimension un.