Prenons une forme ordinaire de l'espace à trois dimensions — un cube. Ajoutons le temps comme quatrième coordonnée : le cube cesse d'être un objet, il devient un tube d'univers. Dériver par rapport au temps, c'est alors interroger la géométrie de ce tube : sa tangente, sa courbure, sa torsion, et finalement ce qu'on peut — ou ne peut pas — prévoir de sa suite.
Un solide qui bouge n'occupe pas un lieu : il occupe un lieu à chaque instant. Dans l'espace à quatre coordonnées (x, y, z, t), l'ensemble de ses positions successives forme un objet à quatre dimensions, son tube d'univers. Le solide que nous voyons n'en est qu'une coupe, celle prise à t = t₀.
Comme on ne peut pas dessiner quatre dimensions, on descend d'un cran : à gauche, la forme n'est plus qu'un carré du plan (x, y), et l'axe vertical porte le temps. Le tube est alors un vrai volume, qu'on peut faire tourner à la souris.
Revenons à trois dimensions d'espace. Si le cube ne bouge pas pendant une durée Δt, son tube d'univers est le produit d'un cube par un segment : un hypercube. Ci-dessous, ses seize sommets et ses trente-deux arêtes, projetés sur le plan. Le curseur de vitesse penche le tube sans rien changer aux coupes : en mécanique galiléenne, changer de repère cisaille le tube d'univers mais laisse chaque instant intact.
Le temps ajouté comme quatrième dimension ne fait pas du solide un objet plus compliqué : il en fait un objet plus grand d'une dimension, dont notre présent n'est qu'une tranche. Tant que le mouvement est rigide — translation et rotation seules — l'aire de la coupe ne change jamais, et l'hypervolume du tube vaut exactement aire × durée. Il faut une dilatation pour que cette égalité se brise.
Suivons d'abord un seul point du solide : son centre G(t). Chaque dérivation par rapport au temps produit une nouvelle grandeur, avec sa propre unité :
Les deux premières ont un nom que tout le monde connaît : vitesse et accélération. La troisième s'appelle la secousse (l'anglais dit jerk) : c'est elle, et non l'accélération, qui rend un ascenseur ou un train désagréable. On dimensionne les rampes de démarrage pour la maintenir modérée, de l'ordre de quelques dixièmes de m·s⁻³. Au-delà, les noms (snap, crackle, pop) sont des plaisanteries d'ingénieurs et ne servent presque jamais.
Les quatre dérivées sont connues sous forme close pour cette trajectoire. On les recalcule ici par différences finies centrées, d'ordre h², puis on améliore par extrapolation de Richardson (4D(h/2) − D(h))/3. L'écart relatif se dégrade d'un facteur cent à chaque dérivation supplémentaire : dériver est une opération numériquement instable, et c'est déjà une conséquence concrète de la question posée.
| Ordre | Norme exacte | Pas h | Écart relatif brut | Après Richardson |
|---|
Multiplier la pulsation par deux multiplie la n-ième dérivée par 2ⁿ — le bouton le vérifie à la quinzième décimale. Un mouvement deux fois plus rapide n'est pas deux fois plus violent : il est huit fois plus secoué et seize fois plus « snappé ». C'est pourquoi les dérivées hautes gouvernent le confort, la fatigue des matériaux et la tenue des mécanismes bien avant que la vitesse ne devienne un problème.
Les dérivées ne sont pas seulement des grandeurs physiques : ce sont les données géométriques de la ligne d'univers. Le repère de Frenet le montre exactement.
La première dérivée donne la direction du mouvement. Il faut la deuxième pour connaître la courbure, c'est-à-dire le rayon du cercle qui épouse la trajectoire. Et il faut la troisième — la secousse — pour connaître la torsion, c'est-à-dire la vitesse à laquelle la trajectoire s'échappe de son propre plan osculateur. Aucune dérivée n'est de trop : chacune ouvre une dimension de plus de la géométrie locale.
Pour une hélice circulaire de rayon R et de pas réduit c, la courbure et la torsion valent exactement κ = R/(R²+c²) et τ = c/(R²+c²). Les valeurs calculées à partir de v, a et j les retrouvent à 10⁻¹⁵ près, quelle que soit la pulsation : la courbure et la torsion sont des propriétés de la forme du tube, pas de la manière dont on le parcourt.
Jusqu'ici nous avons suivi le centre. Mais le solide a une étendue, et la contrainte de rigidité — toutes les distances internes constantes — impose une forme très particulière au champ des vitesses : il est affine.
Trois nombres pour v(G), trois pour ω : le mouvement d'un solide, si compliqué soit-il, n'a que six degrés de liberté à chaque instant. L'accélération d'un sommet se décompose alors en trois parts : celle du centre, le terme d'Euler ω̇ ∧ GP dû à la variation de la rotation, et le terme centripète ω ∧ (ω ∧ GP), qui existe même quand la rotation est parfaitement uniforme.
Deux vérifications tournent en continu. D'une part la distance entre deux sommets, recalculée à chaque instant, ne varie pas au-delà de 10⁻¹⁶ : le mouvement est bien rigide. D'autre part la vitesse calculée par la formule du torseur est comparée à la dérivée numérique de la position réelle du sommet — l'écart reste de l'ordre de 10⁻⁸, limite du pas de différence finie. Enfin, sur l'axe instantané, la vitesse est exactement parallèle à ω : le mouvement le plus général d'un solide est un vissage.
Voilà la vraie question posée par les dérivées successives : combien faut-il en connaître pour deviner l'avenir du solide ? La formule de Taylor donne une réponse encourageante — puis un contre-exemple la démolit.
Connaissant la position, la vitesse, l'accélération, la secousse et le snap à l'instant t₀, on prédit la pose du cube à t₀+h en tronquant le développement à l'ordre N. L'erreur doit se comporter comme h^(N+1) : sur un diagramme log-log, cela donne des droites de pentes 1, 2, 3, 4, 5. Les pentes mesurées, affichées à droite, les retrouvent. Chaque dérivée supplémentaire achète donc un ordre de précision — et l'achète très cher, puisqu'on vient de voir en planche 2 qu'elle est de plus en plus difficile à mesurer.
Les deux moitiés de la planche disent le contraire l'une de l'autre, et elles ont raison toutes les deux. Taylor fonctionne : l'erreur tombe en h^(N+1), et sur un intervalle court la prévision est excellente. Mais la validité est locale et conditionnelle. Le mouvement en exp(−1/t²) est le témoin qu'aucune quantité finie — ni même infinie — de dérivées prises en un point ne referme la question de l'avenir.