Le tracé des cadrans solaires

Plantez une tige verticale : son ombre tourne, mais sa direction à une heure donnée change tout au long de l'année — impossible de graduer. Inclinez la tige vers le pôle céleste, à un angle égal à la latitude, et le miracle se produit : l'ombre de ce style polaire ne dépend plus que de l'angle horaire. Faites défiler les saisons ci-dessous : l'ombre rouge du style reste rivée sur sa ligne horaire pendant que celle de la tige verticale se promène.

style polaire et son ombretige verticalesoleil

Pourquoi cela marche. Le style pointe vers le pôle céleste, donc le plan qui contient le style et le soleil est exactement le plan horaire du soleil — celui qui tourne d'un tour par jour autour de l'axe du monde. L'ombre du style est l'intersection de ce plan avec la table du cadran : elle ne dépend que de l'angle horaire, jamais de la déclinaison. Ce raisonnement ne suppose rien sur l'orientation de la table, ce qui est la raison pour laquelle on peut tracer un cadran sur n'importe quel mur.

Le plus simple, celui des jardins. Les lignes horaires se calculent ici en projetant réellement l'ombre du style, puis on compare le résultat à la formule des traités : tan θ = sin φ · tan H. Les deux coïncident à la dernière décimale. On voit du même coup pourquoi un cadran horizontal ne se transporte pas : ses lignes dépendent de la latitude, et au voisinage de l'équateur elles s'écrasent toutes sur la ligne de midi.

Le cadran de l'équateur et celui du pôle. À la latitude nulle, sin φ = 0 : toutes les lignes se confondent, et le style couché à plat ne porte plus d'ombre exploitable — on y emploie un cadran équatorial, dont les lignes sont régulièrement espacées de 15°. Au pôle, sin φ = 1 : les lignes du cadran horizontal sont elles aussi espacées de 15° exactement, car la table y est perpendiculaire au style. Entre les deux, le facteur sin φ resserre plus ou moins l'éventail.

Le cas réel : un mur qui ne regarde pas franc sud. Deux nouvelles grandeurs apparaissent, et le même lancer de rayon les donne toutes deux. La sous-stylaire est la trace, sur le mur, du plan qui contient le style et la normale au mur ; la hauteur du style est l'angle dont il faut le décoller de la paroi. Les formules des traités — sin(hauteur) = cos φ · cos D et tan(sous-stylaire) = sin D / tan φ — sont retrouvées ici à la sixième décimale.

lignes horairessous-stylaireombre à l'heure choisie

Mesurer la déclinaison d'un mur. C'est l'opération délicate du gnomoniste, car une erreur d'un degré sur l'orientation déplace les lignes d'autant. La méthode classique n'emploie pas de boussole — trop perturbée par les ferrures — mais le soleil lui-même : on relève l'instant où l'ombre d'un fil à plomb tendu devant le mur est perpendiculaire à celui-ci, et l'heure de ce passage donne la déclinaison par le calcul. Le soleil sert ainsi à orienter le cadran qu'il éclairera.

Jusqu'ici l'ombre du style donnait l'heure. Marquez maintenant un point sur le style — un œilleton, ou nodus — et suivez l'ombre de ce point seul au fil d'une journée : elle décrit une courbe qui, elle, dépend de la date. Le soleil parcourant un cercle sur le cône de sommet le nodus, l'ombre est une conique : hyperbole toute l'année, et droite exacte aux équinoxes, quand le cône dégénère en plan. Ces arcs donnent la saison, et sur les cadrans anciens ils portent les signes du zodiaque.

Une conique parce que le soleil décrit un cercle. En une journée, la direction du soleil balaie un cône de révolution autour de l'axe du monde, d'angle au sommet 90° − δ. L'ombre du nodus est la section de ce cône par le plan de la table : ellipse, parabole ou hyperbole selon l'inclinaison — en pratique toujours une hyperbole sous nos latitudes, et une droite le jour où δ = 0, puisque le cône s'aplatit alors en un plan. C'est le même théorème que celui des sections coniques de la planche des intersections de cônes, appliqué à l'ombre.

L'élément décisif : un cadran solaire ne donne pas l'heure de la montre, et l'écart n'est pas constant. Il comporte trois termes. Le fuseau, qui décale d'une heure entière ; la longitude, quatre minutes par degré ; et surtout l'équation du temps, somme de deux causes indépendantes — l'orbite elliptique et l'obliquité de l'écliptique — que la page calcule séparément avant de les additionner. Il en résulte qu'à midi juste à la montre, l'ombre du nodus n'est jamais au même endroit : elle décrit dans l'année un huit, l'analemme.

analemmepart de l'obliquitépart de l'excentricité

Deux causes, deux périodes. L'excentricité de l'orbite fait varier la vitesse apparente du soleil sur l'écliptique et produit un terme de période annuelle, d'amplitude environ 7,7 minutes ; l'obliquité fait que la projection sur l'équateur n'est pas uniforme même à vitesse constante, et produit un terme de période semestrielle, d'amplitude environ 9,9 minutes. Leur somme atteint +16,4 minutes au début de novembre et −14,2 minutes à la mi-février. Les cadrans qui portent une table de correction gravée dans la pierre, ou une ligne d'analemme en forme de huit à la place de la ligne de midi, sont ceux dont le tailleur avait compris cela.