Le principe : agir avant ou après f
La plupart des courbes étudiées en analyse ne sont pas de nouvelles fonctions : ce sont des fonctions de référence — x2, √x, 1/x, sin(x) — auxquelles on applique une règle simple. Reconnaître cette règle évite de refaire l'étude à chaque fois.
Toute règle de transformation agit à l'un de ces deux endroits :
On modifie avant que f ne s'applique → effet horizontal sur le graphe.
On modifie après avoir calculé f(x) → effet vertical sur le graphe.
Translations : glisser la courbe
Glisse vers le haut si k>0, vers le bas si k<0. Sens naturel.
Glisse vers la droite si h>0 : le signe s'inverse par rapport à l'intuition.
Dilatations et contractions : étirer la courbe
Étire si |a|>1, resserre si |a|<1. Chaque hauteur est multipliée par a.
Resserre si |b|>1, étire si |b|<1 : encore une relation inverse.
Réflexions : retourner la courbe
Une réflexion est un cas particulier de dilatation avec un facteur négatif : elle retourne la courbe comme un miroir plutôt que de l'étirer.
Tout combiner : la transformation générale
L'ordre compte : on applique d'abord ce qui touche x — décalage h, puis échelle b — à l'intérieur de f; on applique ensuite l'échelle a puis le décalage k sur le résultat. Le bouton ci-dessous rejoue les quatre étapes dans cet ordre.
Cas particulier : la valeur absolue
Applique la valeur absolue après f : toute portion sous l'axe des x est retournée vers le haut.
Applique la valeur absolue avant f : la partie x≥0 est recopiée en miroir sur x<0, qui disparaît.
Fiche mémo
Toutes les transformations usuelles se lisent en repérant si l'opération porte sur x (effet horizontal) ou sur f(x) (effet vertical).
| Écriture | Effet géométrique | Sens |
|---|---|---|
| f(x) + k | translation verticale | vers le haut si k>0 |
| f(x − h) | translation horizontale | vers la droite si h>0 |
| a f(x) | dilatation verticale | étire si |a|>1, resserre si |a|<1 |
| f(bx) | dilatation horizontale | resserre si |b|>1, étire si |b|<1 |
| −f(x) | réflexion | miroir par rapport à l'axe des x |
| f(−x) | réflexion | miroir par rapport à l'axe des y |
| |f(x)| | repli vers le haut | partie négative retournée |
| f(|x|) | symétrisation | moitié x≥0 recopiée en miroir sur x<0 |