Cahier de géométrie — perspective appliquée
Dès que la perspective devient une science exacte, les architectes s'en emparent à rebours : au lieu de représenter un espace existant, ils fabriquent l'espace qui produira l'image voulue. Une galerie de neuf mètres se donne pour trente ; un chœur de quatre-vingt-dix-sept centimètres pour dix mètres ; un plafond plat pour un ciel ouvert ; un jardin déformé pour un jardin régulier.
Ces cinq planches reprennent chacune un procédé réellement bâti et en refont le calcul. Toutes reposent sur la même équation, celle de la projection centrale u = d·x/y, v = d·z/y : deux objets différents ont la même image si et seulement si leurs points se correspondent le long des rayons visuels. C'est la faille par laquelle l'architecte se glisse — et c'est aussi la raison pour laquelle l'illusion ne tient que d'un seul point de l'espace, ce que chaque planche mesure.
Francesco Borromini, galerie du palais Spada, Rome, 1652-1653 — 8,82 m bâtis, une trentaine perçus.
Le procédé : donner à la galerie une section qui décroît linéairement, d'un facteur 1 à l'entrée jusqu'à τ au fond — les murs se rapprochent, le sol monte, le plafond descend, les colonnes rapetissent. Une section réduite de s à la profondeur y donne exactement la même image qu'une section pleine placée à la profondeur y/s.
profondeur perçue = y / s(y) ⟹ longueur perçue = (d₀ + ℓ)/τ − d₀
Deux sens pour le même curseur. Avec τ < 1 la perspective est accélérée : l'espace se creuse, la galerie s'allonge, la statuette de 60 cm devient un colosse grandeur nature. Avec τ > 1 elle est ralentie : c'est la place du Capitole, dont Michel-Ange écarte les palais latéraux, ce qui rapproche le fond et resserre l'espace. Dans les deux cas, la coupe montre deux édifices très différents et une seule et même image.
Donato Bramante, Santa Maria presso San Satiro, Milan, vers 1480 — la rue passait derrière l'abside : il restait 97 cm.
Faute de place, le chœur est remplacé par un relief de stuc. Chaque point du chœur imaginaire est ramené vers l'œil le long de son rayon visuel, jusqu'à tomber dans l'épaisseur disponible. La transformation employée, y = Y/(p + qY), est une homologie de centre l'œil : elle conserve les plans et les droites, ce qui permet de la tailler dans la pierre.
Le prix de l'illusion. Tant que l'œil reste sur l'axe, le relief et le chœur imaginaire donnent rigoureusement la même image — l'écart affiché est celui du calcul, pas celui de la méthode. Dès que le spectateur se déplace, les deux images divergent : le chœur se tord, les caissons s'écrasent, et l'on voit ce que voit un visiteur placé dans le transept — un bas-relief. C'est pourquoi Bramante a placé l'illusion au bout de la nef, là où le fidèle arrive de face.
Andrea Pozzo, voûte de Sant'Ignazio, Rome, 1685-1694 — un disque de marbre, au sol, marque le point d'où il faut regarder.
La quadratura prolonge l'architecture réelle par une architecture peinte qui monte vers le ciel. Une colonne verticale imaginaire, élevée depuis la corniche jusqu'à la hauteur L, se peint sur le plafond plat le long du rayon visuel : elle y devient un segment qui file vers le point situé juste au-dessus de l'œil.
point peint = t · (X, Y) avec t = (H − h) / (z − h)
Le disque de marbre. Le dessin peint n'est juste que pour un seul point du dallage ; Pozzo l'a fait marquer au sol. Ailleurs, les colonnes peintes continuent de fuir vers l'ancien point, tandis que l'œil, lui, attend qu'elles fuient vers son propre zénith : elles paraissent basculer de l'angle affiché ci-dessus. Pozzo assumait le procédé et l'a publié — Perspectiva pictorum et architectorum, 1693.
Colonne Trajane, campaniles, hautes façades — le procédé des bandeaux croissants.
Un spectateur au pied d'un édifice élevé ne voit pas les étages sous le même angle : plus ils montent, plus ils s'écrasent. Pour qu'ils paraissent égaux, on les fait croître de bas en haut, de façon que chacun soit vu sous le même angle depuis le point de vue choisi.
Deux critères, deux réponses. La correction suppose que l'œil juge par angles, en tournant la tête vers le haut. Sur un tableau plan parallèle à la façade, au contraire, aucune correction n'est nécessaire : l'image est une simple réduction homothétique, et des bandeaux croissants y paraissent croissants. Les deux colonnes de chiffres ci-dessus donnent les deux lectures ; le débat sur la colonne Trajane n'est pas tranché autrement.
André Le Nôtre, Vaux-le-Vicomte, 1656-1661 — 1 800 m d'axe, vus du haut du perron.
Le Nôtre, formé à l'optique dans l'atelier de Simon Vouet, applique au sol les recettes des manuels d'anamorphose des années 1630 : il allonge et élargit les figures à mesure qu'elles s'éloignent, pour compenser leur raccourcissement. Au parterre de broderies répond, tout au fond, un parterre de gazon trois fois plus grand ; au Rond d'Eau, un bassin carré huit fois plus vaste.
largeur ∝ ym et longueur ∝ ym — pour m = 1, l'image cesse de converger
Ce que voit le maître de maison. À m = 0, le jardin est régulier au sol et l'image se resserre : le fond paraît minuscule et lointain. À m = 1, le plan devient un entonnoir monstrueux — mais les bords de l'image cessent exactement de converger, et le jardin se déploie devant le perron comme une tapisserie tendue. Le Nôtre s'arrête à mi-chemin : assez pour rapprocher le fond, pas assez pour tuer la profondeur. Le seul point d'où le jardin est juste est celui d'où le propriétaire le regarde — ce qui, en 1661, n'était pas une considération purement géométrique.