Les séries

Additionner une infinité de termes n'a de sens que par un détour : on additionne les premiers, puis on regarde où va la suite obtenue. Cinq planches — les sommes partielles, le modèle géométrique, la frontière des séries de Riemann, le scandale du réarrangement — et pour finir un dépassement de 9 % qui refuse de disparaître.

Planche 1

Une série est la limite de ses sommes partielles

Rien ne s'additionne « jusqu'à l'infini ». On construit la suite S₁, S₂, S₃… des sommes des premiers termes, et l'on demande si cette suite converge. Les termes tendent vers 0 dans les cinq cas présentés — et pourtant l'un d'eux diverge.

n12

Série—

Somme partielle Sₙ—

Dernier terme uₙ—

Somme de la série—

Reste S − Sₙ—

Contrôle—

Ce qu'il faut retenir. Que le terme général tende vers 0 est nécessaire mais pas suffisant : la série harmonique en est la preuve définitive, ses sommes partielles franchissent n'importe quel seuil, si lentement que ce soit. À l'inverse, si le terme général ne tend pas vers 0, la divergence est immédiate — c'est le seul test qui se fasse d'un coup d'œil. La vitesse à laquelle le reste s'annule est aussi importante que la convergence elle-même : elle décide du nombre de termes à calculer pour obtenir une décimale de plus.

Planche 2

La série géométrique, le modèle de toutes les autres

Chaque terme s'obtient du précédent en le multipliant par q. Les morceaux, posés bout à bout, remplissent un segment de longueur finie dès que |q| < 1 — et le reste se calcule exactement, ce qui en fait l'étalon de comparaison de toute la théorie.

q0,620 n6

Somme partielle (1 − qⁿ) / (1 − q)—

Somme cumulée terme à terme—

Écart entre les deux—

Limite 1 / (1 − q)—

Reste exact qⁿ / (1 − q)—

Rapport de deux restes consécutifs—

Ce qu'il faut retenir. C'est la seule série usuelle dont on connaisse à la fois la somme et le reste sous forme close, et c'est pourquoi tout le reste de la théorie s'y ramène : la règle de d'Alembert compare uₙ₊₁/uₙ à un rapport géométrique, celle de Cauchy compare la racine ⁿ√uₙ. Quand q franchit 1, la longueur totale devient infinie ; en q = −1, les sommes partielles sautent indéfiniment entre 1 et 0 sans se fixer — ni convergence, ni infini, simplement pas de limite.

Planche 3

Séries de Riemann : la frontière est en α = 1

Les rectangles de la série s'appuient sur la courbe 1/xᵅ : la comparaison série–intégrale encadre la somme entre deux aires calculables. Toute la question tient dans la convergence de ∫ dx/xᵅ, et le basculement se produit exactement en α = 1.

α2,000 N8

Nature—

Encadrement de S_N—

Somme jusqu'à 20 000—

Somme de la série ζ(α)—

Reste estimé N^1−α/(α−1)—

Contrôle—

Ce qu'il faut retenir. Pour α > 1 la série converge, pour α ≤ 1 elle diverge, et le cas limite α = 1 mérite un regard : la série harmonique diverge, mais si lentement que S_N − ln N converge, vers la constante d'Euler γ ≈ 0,5772. Autrement dit, il faut environ e¹⁰, soit vingt-deux mille termes, pour dépasser 10. Pour α = 2, Euler a montré en 1735 que la somme vaut π²/6 — un résultat qui reste stupéfiant : où la géométrie du cercle se cache-t-elle dans une somme d'inverses de carrés ?

Planche 4

Le réarrangement de Riemann : l'addition perd sa commutativité

La série harmonique alternée converge vers ln 2 — mais seulement dans cet ordre-là. Prenez p termes positifs, puis q termes négatifs, et recommencez : les mêmes termes, tous utilisés une fois et une seule, donnent une autre somme.

p1 q1 blocs30

Ordre des termes—

Somme après les blocs affichés—

Somme à 10⁶ blocs—

Cible ln 2 + ½ ln(p/q)—

Écart à la cible—

Contrôle : somme directe = formule—

Ce qu'il faut retenir. Une série est dite absolument convergente si la série des valeurs absolues converge — et dans ce cas seulement, l'ordre des termes est sans importance. La série harmonique alternée n'est que semi-convergente : ses termes positifs, à eux seuls, forment une série divergente, tout comme ses termes négatifs. Riemann en a tiré son théorème de 1854 : en réarrangeant une série semi-convergente, on peut obtenir n'importe quel réel, ou +∞, ou −∞. Les curseurs ne montrent qu'une famille particulière de réarrangements, mais le principe est là : la commutativité de l'addition ne survit pas au passage à l'infini.

Planche 5 — élément signature

Le phénomène de Gibbs : les 9 % qui ne partent jamais

On approche un signal carré par ses harmoniques. La somme converge vers le signal en chaque point — et pourtant, de part et d'autre de chaque saut, une oreille de dépassement subsiste. Elle se rétrécit indéfiniment, mais sa hauteur, elle, ne diminue pas.

N7 loupe sur le saut

Harmoniques utilisées—

Maximum de S_N—

Dépassement, en % du saut—

Constante de Gibbs—

Position du maximum—

Contrôle : position × (N+1)—

Ce qu'il faut retenir. Voici la distinction décisive de toute la théorie des séries de fonctions. En chaque point fixé, S_N(x) tend bien vers le signal : c'est la convergence simple. Mais l'écart maximal sur l'ensemble de la période ne tend pas vers 0 : il n'y a pas convergence uniforme. Le dépassement vaut toujours (2/π)∫₀^π sin t / t dt − 1, soit 8,95 % du saut ; seule sa largeur s'effondre, comme π/(N+1). C'est précisément cette différence qui explique qu'une limite de fonctions continues puisse être discontinue — et pourquoi les ingénieurs du traitement du signal filtrent leurs sommes partielles au lieu de les tronquer brutalement.