Deux triangles qui se regardent depuis un même point voient leurs côtés se rencontrer sur une même droite. Énoncé dans le plan, ce théorème s'y démontre mal ; dans l'espace, il devient une évidence en trois lignes. Cinq planches pour passer du plan à l'espace, puis en redescendre — et pour finir, un plan où le théorème est faux.
Les droites AA′, BB′, CC′ concourent au point O : les triangles sont dits en perspective depuis O. Prolongez alors les côtés homologues. Ils se coupent en trois points P, Q, R qui, quoi qu'on fasse, restent alignés. Déplacez O, A, B, C à la souris ; réglez les trois rapports.
Sur la configuration de référence, dont les coordonnées tombent juste en binaire, l'écart affiché vaut exactement zéro. Déplacez un point à la souris et il devient un résidu d'arithmétique flottante — de l'ordre de 10⁻¹⁴ sur des coordonnées de l'ordre de 100 — qu'il faut lire comme un zéro. Poussez k₁, k₂, k₃ vers une valeur commune : les côtés homologues deviennent parallèles et les trois points partent à l'infini — l'axe de perspective devient la droite à l'infini. Le théorème n'a d'énoncé sans exception que dans le plan projectif.
Plaçons les deux triangles dans deux plans distincts π et π′, sécants suivant une droite d, et le sommet O hors des deux plans. Alors O, A, B, A′, B′ sont dans un même plan : les droites AB et A′B′ s'y coupent. Or AB est dans π et A′B′ dans π′ : leur point commun appartient aux deux plans, donc à d. Même chose pour les deux autres. Les trois points sont sur d — c'est fini. Faites tourner la figure à la souris.
Un détail qui frappe quand on manœuvre les curseurs : les trois points P, Q, R ne bougent pas. C'est normal — chacun est l'intersection d'un côté du triangle du bas avec la droite d. Incliner π′ ou déplacer O change entièrement le triangle A′B′C′, jamais l'axe. Le triangle du haut n'a pas son mot à dire.
La preuve précédente a un défaut : elle suppose les deux triangles dans des plans différents. Pour retrouver le cas plan, on éclaire toute la figure depuis un point W et l'on regarde son ombre sur un tableau — ici un plan horizontal glissé sous la figure, pour que l'ombre ne se confonde pas avec l'original. Une projection centrale envoie droites sur droites et respecte les incidences : l'ombre est donc une configuration de Desargues plane, ses deux triangles en perspective depuis l'ombre de O, son axe étant l'ombre de d. Le théorème plan est l'ombre du théorème spatial.
Le bouton Regarder depuis W place l'œil exactement au point d'où part la lumière. Chaque point de l'espace se superpose alors au pixel près à son ombre : la lecture « point / ombre » tombe à zéro. C'est la définition même de la projection centrale — et c'est ce que fait un peintre qui relève une perspective. Sur le tableau, la figure du bas et celle du haut se retrouvent dans un seul et même plan : c'est exactement l'énoncé de la planche 1, obtenu sans jamais l'avoir démontré dans le plan.
La figure complète compte exactement dix points (O, A, B, C, A′, B′, C′, P, Q, R) et dix droites, avec trois points sur chaque droite et trois droites par chaque point. On la note 10₃. Sa propriété la plus étonnante : n'importe lequel des dix points peut jouer le rôle de centre de perspective, la droite restante servant d'axe. Cliquez sur un point.
La combinatoire devient limpide si l'on numérote les points par les paires de {1, 2, 3, 4, 5} et les droites par les triplets : le point {i, j} est sur la droite {i, j, k}. Il y a bien dix paires et dix triplets. Prendre {i, j} pour centre, c'est prendre le triplet complémentaire pour axe, et les deux triangles sont {i, k}{i, l}{i, m} et {j, k}{j, l}{j, m}. Cette symétrie est la trace, dans le plan, des cinq plans qui découpent la figure spatiale de la planche 2 : la configuration de Desargues est l'ombre d'un simplexe à cinq sommets.
Le théorème ne se déduit pas des seuls axiomes d'incidence du plan. Pour le prouver, Moulton a construit en 1902 un plan où « par deux points passe une droite et une seule » reste vrai, mais où Desargues tombe. La recette : on garde le plan ordinaire, et l'on décide que toute droite de pente négative se casse en franchissant l'axe des ordonnées, sa pente y étant divisée par λ. Le curseur fait passer λ de 1 (plan ordinaire) à 2,2.
À λ = 1 l'écart vaut zéro : c'est le plan ordinaire, Desargues tient. Dès que λ dépasse 1 l'écart devient franc — 6,33 unités à λ = 2, sur une figure large d'une vingtaine d'unités : R n'est plus sur la droite (PQ), et pas d'un cheveu. Les trois droites issues de O restent pourtant des droites de ce plan, les six côtés aussi, et deux points quelconques y déterminent encore une droite unique. Conclusion : Desargues est un axiome supplémentaire, pas un théorème d'incidence. Hilbert et Hessenberg ont précisé le partage — un plan projectif vérifie Desargues si et seulement s'il peut être coordonné par un corps, éventuellement non commutatif ; le théorème de Pappus, lui, réclame la commutativité.