Cahier de statistique — ajustement à une loi

Le test du χ² de Pearson

Un dé est-il équitable ? On le lance n fois, on compte les apparitions de chaque face, puis on mesure l’écart entre ce que l’on observe et ce que le hasard prédit. Le test du χ² transforme cet écart en une décision : fluctuation normale, ou dé truqué ?

Étape 1

Les hypothèses et l’expérience

H₀ (hypothèse nulle)
Le dé est équitable : chaque face a une probabilité 1/6.
H₁ (hypothèse alternative)
Au moins une face n’a pas la probabilité 1/6.
120
Étape 2

Effectifs observés Oi contre effectifs attendus Ei

Sous H₀, on attend Ei = n/6 apparitions par face. Les barres bleues montrent les comptages réels ; le trait rouge pointillé, la prédiction.

Observé Oi Attendu Ei = n/6
Étape 3

La statistique de test

On additionne, face par face, les écarts quadratiques relatifs :

χ² = ∑i=16 ( Oi − Ei )² / Ei

Diviser par Ei rend les écarts comparables : un écart de 5 pèse peu si l’on attend 100, beaucoup si l’on attend 10.

Face Oi observé Ei attendu Oi − Ei (Oi − Ei)²/Ei
χ²obs = —
Étape 4

La loi du χ² et la décision

Si H₀ est vraie, la statistique suit approximativement une loi du χ² à k − 1 = 5 degrés de liberté (6 catégories, moins une contrainte : la somme vaut n). La zone rouge est la région de rejet, de probabilité α sous la courbe.

χ² observé
—
Valeur critique (α)
—
p‑valeur
—

Dans la marge : la p‑valeur est la probabilité, si le dé était parfaitement équitable, d’observer un écart au moins aussi grand que celui-ci. Petite p‑valeur = écart trop improbable pour être une simple fluctuation. Relancez plusieurs fois : avec un dé équitable, le test se trompe (rejette H₀ à tort) environ α fois sur 100 — c’est le risque de première espèce.