Une conduite cylindrique, une pompe à un bout, un fluide visqueux entre les deux. Le champ v(x, y, z, t) qui s'y installe n'a rien d'évident : il est nul à la paroi, maximal sur l'axe, et il transporte partout du cisaillement et du tourbillon. Cinq planches pour le démonter — la viscosité qui freine, le gradient de pression qui pousse, la compressibilité qui change les règles, et le temps qui met le fluide en retard sur la pompe.
En régime permanent, laminaire, dans une conduite cylindrique droite, le champ de vitesse est purement axial et ne dépend que de la distance à l'axe. La solution exacte des équations de Navier–Stokes s'écrit :
C'est une parabole de révolution : vitesse nulle au contact de la paroi — c'est la condition d'adhérence, un fait expérimental et non une hypothèse de calcul — et maximale sur l'axe. Les particules colorées ci-dessous se déplacent à la vitesse locale : elles s'étirent en pointe, ce qui est exactement ce qu'on observe en injectant un traceur dans un tube.
Deux résultats classiques sont recalculés à chaque image. La vitesse débitante vaut exactement la moitié de la vitesse sur l'axe. Et le débit intégré numériquement — méthode de Simpson sur 2πr·v(r) — retrouve la loi de Hagen–Poiseuille Q = πGR⁴/8μ à 10⁻¹⁵ près. Attention au nombre de Reynolds affiché : au-delà de 2300 environ, l'écoulement laminaire n'est plus observé et tout ce qui précède cesse d'être vrai.
La parabole n'est pas postulée, elle se déduit d'un bilan de forces élémentaire. Isolons le cylindre de fluide de rayon r et de longueur L. Il est poussé par la pression sur ses deux disques, retenu par le frottement visqueux sur sa surface latérale. En régime permanent il ne s'accélère pas, donc les deux se compensent :
Une intégration, la condition v(R) = 0, et la parabole tombe. La contrainte de cisaillement croît linéairement depuis l'axe, où elle est nulle, jusqu'à la paroi où elle vaut τ_p = GR/2 : c'est là que la conduite encaisse tout l'effort.
Deux vérifications indépendantes. D'abord la contrainte : la formule Gr/2 est comparée à −μ dv/dr calculé par différence finie sur le profil — accord à 10⁻¹¹. Ensuite le bilan énergétique global : la puissance fournie par la pompe, Q·Δp, est confrontée à la dissipation visqueuse ∫ μ (dv/dr)² dV intégrée sur tout le volume. Les deux nombres sont égaux — toute l'énergie de pompage part en chaleur, aucune n'est stockée.
Une particule de fluide ne fait pas que se déplacer : elle se déforme et elle tourne. Le gradient du champ de vitesse se scinde en deux, et c'est la décomposition centrale de toute la mécanique des fluides :
Pour notre écoulement, le taux de cisaillement local vaut γ̇ = |dv/dr| = Gr/2μ. La partie symétrique D étire la parcelle à 45° dans une direction et la comprime dans l'autre, à la vitesse ±γ̇/2. La partie antisymétrique la fait tourner en bloc à la vitesse angulaire γ̇/2. Un cisaillement simple, c'est donc exactement moitié déformation, moitié rotation — et la petite roue à aubes ci-dessous tourne pour de bon.
La circulation de la vitesse le long d'un petit rectangle du plan (axe, rayon) est calculée directement, puis comparée au flux de vorticité à travers ce rectangle : le théorème de Stokes est vérifié à 10⁻¹⁴ près. Le piège, lui, est conceptuel : les lignes de courant sont des droites parallèles, et pourtant la vorticité n'est pas nulle. Le tourbillon n'est pas la courbure de la trajectoire, c'est la rotation propre de la particule. Seule l'axe de la conduite, où le cisaillement s'annule, est un lieu sans rotation.
Jusqu'ici la masse volumique était constante et la conservation de la masse s'écrivait simplement ∇·v = 0. Un rétrécissement accélère alors le fluide, puisque v·A doit rester constant. Dès que le fluide se comprime, la relation exacte devient :
Le facteur M² − 1 renverse tout. En dessous de la vitesse du son il est négatif : rétrécir accélère, comme d'habitude. Au-dessus, il devient positif et c'est l'inverse — c'est pourquoi une tuyère de fusée s'évase après son col. Le col, lui, est le seul endroit où M = 1 peut s'installer.
Le bouton « incompressible » applique au même gaz la règle simplifiée v·A = constante. La lecture montre alors de combien elle se trompe : l'écart à la relation exacte vaut précisément M². À Mach 0,3 c'est 9 % — d'où la règle d'ingénieur qui autorise l'hypothèse incompressible en dessous de cette vitesse.
Le débit massique ρvA est recalculé en une centaine de sections : son écart relatif entre le minimum et le maximum reste au niveau du bruit d'arrondi, ce qui valide la résolution de la relation aire–Mach par dichotomie. La relation différentielle dA/A = (M² − 1)·dv/v est vérifiée séparément, par différences finies sur A(x) et v(x). Enfin les conditions critiques au col tombent sur leurs valeurs tabulées pour γ = 1,4 : ρ*/ρ₀ = 0,6339, T*/T₀ = 0,8333, p*/p₀ = 0,5283.
Reprenons le t de v(x, y, z, t), resté muet jusqu'ici. Faisons osciller le gradient de pression au lieu de le maintenir constant, et regardons ce que devient le profil dans un canal plan de demi-largeur h :
Le nombre sans dimension α, dit de Womersley, compare le temps de diffusion visqueuse à la période de l'excitation. Il commande tout, et le résultat n'est pas intuitif.
Quand α est petit, la viscosité a le temps de faire son travail à chaque instant : le profil reste parabolique et suit la pression sans retard notable. Quand α grandit, le cœur du fluide devient trop inerte : il se déplace en bloc, comme un piston, et prend jusqu'à 90° de retard sur la pression qui le pousse. Plus surprenant encore, à partir de α ≈ 4, le fluide le plus rapide n'est plus sur l'axe mais près de la paroi : c'est l'effet annulaire de Richardson, visible dans la courbe d'amplitude.
Le calcul numérique — schéma de Crank–Nicolson implicite, inconditionnellement stable — part du fluide au repos et ignore tout de la solution analytique. L'écart entre les deux courbes décroît comme exp(−π²t/4α²), la loi d'amortissement du mode le plus lent du canal, puis se stabilise au niveau de la discrétisation, quelques 10⁻⁵. Le temps d'établissement est donc proportionnel à α² : plus le fluide est inerte, plus il met de cycles à trouver son régime. La lecture affiche l'écart courant, le nombre de périodes écoulées et l'estimation 0,30·α² périodes.