La thermodynamique,
cinq expériences à faire tourner

Rien n'est postulé ici : des disques rebondissent, on additionne la quantité de mouvement qu'ils cèdent aux parois, on divise par la durée et le périmètre. La loi des gaz parfaits n'est pas programmée — elle apparaît.

Où la loi des gaz parfaits cesse d'être vraie. À gauche du graphe, quand les disques sont petits et rares, PA/NkT vaut 1 : c'est PV = NkT, obtenu sans jamais l'écrire. Augmentez leur taille ou leur nombre et le rapport grimpe. La raison est purement géométrique : chaque disque interdit aux autres un disque d'exclusion de rayon double, le volume réellement disponible est plus petit que le volume de la boîte, et les chocs contre la paroi se multiplient. C'est le terme b de van der Waals. La courbe de référence est l'équation d'état des disques durs de Henderson ; la simulation la suit à mieux que 1 % jusqu'à η ≈ 0,6, où le gaz commence à cristalliser et où plus aucune formule simple ne tient.

Toutes les particules démarrent avec exactement la même vitesse. Les chocs n'ajoutent aucune énergie, n'en retirent aucune — et pourtant, en quelques centaines de collisions, une forme précise s'installe.

Pourquoi cette forme et pas une autre. L'énergie totale est rigoureusement conservée à chaque choc — le compteur ne bouge pas d'un chiffre. Ce qui change, c'est la répartition : parmi toutes les façons de distribuer une énergie fixée entre N particules, l'immense majorité ressemble à la loi de Maxwell–Boltzmann, f(v) ∝ v·exp(−mv²/2kT) en deux dimensions. Le gaz ne la « cherche » pas ; il tombe dessus parce qu'il n'y a presque rien d'autre à trouver. Injectez une particule très rapide : elle est absorbée en quelques chocs, la queue de la distribution la ravale. C'est le sens profond de l'équilibre thermique — pas l'immobilité, mais la configuration statistiquement écrasante.

Le gaz occupe la moitié gauche. On retire la cloison. Aucune énergie n'est échangée, aucun travail n'est fourni — et pourtant quelque chose d'irréversible vient de se produire.

Ce que « irréversible » veut dire exactement. Rien n'interdit au gaz de repasser tout entier à gauche : les lois du choc le permettent parfaitement. C'est une question de compte. Il y a 2^N répartitions possibles et une seule les met toutes à gauche, d'où ΔS = Nk·ln 2 pour la détente complète. Avec huit particules, le retour arrive sous vos yeux plusieurs fois par minute. Avec deux cents, la probabilité tombe à 10⁻⁶⁰ — il faudrait attendre des milliards de fois l'âge de l'univers. Avec une mole, le nombre n'a plus de nom. L'irréversibilité n'est pas une loi supplémentaire ajoutée à la mécanique : c'est ce que devient une probabilité quand N devient grand.

Deux isothermes, deux adiabatiques. Aucun moteur, jamais, ne fera mieux entre les deux mêmes températures — et la démonstration tient dans l'aire d'un rectangle.

Lisez les deux graphes ensemble. À gauche, dans le plan (P,V), le travail net est l'aire enfermée — le programme l'obtient en intégrant numériquement ∮P dV le long du cycle, sans utiliser la formule du rendement. À droite, dans le plan (T,S), le même cycle devient un rectangle : hauteur T_h − T_c, largeur ΔS. Les adiabatiques sont verticales, puisqu'elles se font sans échange de chaleur donc à entropie constante. L'aire vaut (T_h − T_c)·ΔS, la chaleur reçue vaut T_h·ΔS, et le rapport se simplifie immédiatement en 1 − T_c/T_h. Le rendement ne dépend d'aucun détail du moteur, ni du fluide employé : ce n'est pas une limite technologique, c'est une contrainte de comptage.