Trois rapports de longueurs, attachés à un angle. De cette petite chose sortent la hauteur d'une montagne qu'on n'escalade pas, la position d'un navire, la forme d'un son et l'heure de la marée.
Cinq planches animées. Toutes les valeurs affichées sont calculées dans la page, et confrontées à une seconde méthode indépendante.
Deux triangles rectangles de même angle sont semblables : agrandir l'un donne l'autre. Les longueurs changent donc toutes, mais leurs rapports, eux, ne bougent pas d'un chiffre. C'est ce fait — et lui seul — qui autorise à donner un nom à ces rapports.
sin θ = opposé / hypoténuse · cos θ = adjacent / hypoténuse · tan θ = opposé / adjacent
Le nom même de la discipline le dit : trigonométrie, la mesure des triangles. Elle naît chez les astronomes grecs, qui n'utilisaient pas le sinus mais la corde : Ptolémée, vers 150, publie une table de cordes de demi-degré en demi-degré. Le sinus tel que nous l'écrivons vient de l'Inde, via l'arabe jayb, mal traduit en latin par sinus, « repli d'un vêtement ». L'identité sin² + cos² = 1 n'est rien d'autre que le théorème de Pythagore écrit sur l'hypoténuse de longueur 1.
Le triangle rectangle interdit les angles obtus, et ne va pas au-delà d'un tour. En plaçant l'angle au centre d'un cercle de rayon 1, on lit le cosinus et le sinus comme les deux coordonnées d'un point : la définition survit aux angles plats, aux angles négatifs et aux tours complets.
Le radian n'est pas une lubie de professeur : c'est l'angle pour lequel l'arc de cercle mesure exactement le rayon. Avec lui, la longueur d'arc vaut θ sans coefficient, la dérivée du sinus est le cosinus sans coefficient, et le développement sin θ ≈ θ des petits angles devient exact au premier ordre. Le degré, hérité des Babyloniens et de leur base 60, ne survit que par habitude — et parce que 360 se divise par presque tout.
Un point tourne à vitesse constante ; on n'en regarde que la hauteur, et on la reporte au fil du temps. La courbe qui se déroule est la sinusoïde. Tout mouvement circulaire vu de côté, toute vibration, tout courant alternatif est cette même courbe, à trois réglages près : l'amplitude, la fréquence, la phase.
y(t) = A · sin(ω t + φ)
La période n'est lue nulle part dans la formule : elle est mesurée sur la courbe tracée, en cherchant par dichotomie deux passages successifs par zéro en montant. Le cosinus n'est pas une seconde fonction : c'est le même sinus décalé d'un quart de tour, ce qui se voit sur le cercle puisque l'abscisse d'un point est l'ordonnée du point situé 90° plus loin.
C'est l'usage pour lequel la trigonométrie a été inventée : obtenir une longueur qu'on ne peut pas parcourir, à partir d'angles qu'on peut viser et d'une seule longueur qu'on peut arpenter. Trois situations classiques, du plus simple au plus utile.
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Une marée n'est pas une courbe compliquée : c'est l'addition de quelques sinusoïdes de périodes fixes, dictées par la Lune et le Soleil. Laplace l'a établi, et les services hydrographiques ne font toujours pas autre chose. Les deux principales suffisent à faire apparaître les vives-eaux — et leur rythme redonne la lunaison.
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Page autonome : aucune valeur n'est écrite d'avance, tout est recalculé à l'ouverture. Les contrôles sont obtenus par une méthode différente de celle qui produit la figure, pour qu'un accord à 10−13 ait un sens.