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La conchoïde

Du grec κόγχη, la coquille — de Nicomède au limaçon de Pascal
Définition. Soient une courbe de base 𝒞, un pôle O et une longueur fixe b. Toute droite issue de O coupe 𝒞 en K ; on porte sur cette droite, de part et d'autre de K, les points P₁ et P₂ tels que KP₁ = KP₂ = b. Quand la droite tourne autour du pôle, P₁ et P₂ décrivent la conchoïde de 𝒞 relativement à O et b. Si 𝒞 est une droite, c'est la conchoïde de Nicomède ; si 𝒞 est un cercle et O un point de ce cercle, c'est le limaçon de Pascal.
Courbe : — θ = — OK = — b = —
Astuce : jouez sur la longueur b. Avec la droite (à distance a du pôle) : b < a branche sans boucle, b = a (curseur à 100) rebroussement en O, b > a boucle. Avec le cercle (de diamètre 2a) : b = a limaçon trisecteur, b = 2a (curseur à 200) cardioïde.

Ce que montre l'animation

Une droite pivote autour du pôle O et rencontre la courbe de base en K. Un compas d'ouverture constante b — le cercle de report centré en K — découpe sur la droite tournante les deux points P₁ et P₂, qui tracent en rouge sombre les deux branches de la conchoïde. En coordonnées polaires de pôle O, si la courbe de base a pour équation r = f(θ), sa conchoïde s'écrit simplement :

r(θ) = f(θ) ± b

Pour la droite à distance a du pôle, f(θ) = a/cos θ : les deux branches admettent la droite de base pour asymptote, et la forme de la branche intérieure change avec b — lisse pour b < a, pointe de rebroussement en O pour b = a, boucle traversant le pôle pour b > a. Pour le cercle de diamètre 2a passant par O, f(θ) = 2a cos θ et l'on obtient le limaçon r = 2a cos θ + b.

Nicomède et les problèmes grecs

Nicomède introduit sa conchoïde au IIe siècle av. J.-C., et en fait un instrument : il décrit même un appareil mécanique — règle coulissant dans une rainure, pointe traçante à distance fixe — qui la dessine d'un mouvement continu. La courbe lui sert à résoudre les deux grands problèmes que la règle et le compas ne peuvent atteindre : la trisection de l'angle et la duplication du cube. L'idée-clef est celle de l'insertion (neusis) : glisser entre deux lignes un segment de longueur donnée dont le support passe par un point fixe — exactement ce que la conchoïde réalise par construction.

Le limaçon d'Étienne Pascal

La conchoïde d'un cercle, le pôle étant pris sur le cercle, porte le nom d'Étienne Pascal — le père de Blaise, dont l'hexagramme mystique fait l'objet d'une autre page de ce cahier ; c'est Roberval qui baptisa la courbe ainsi. La famille des limaçons contient deux cas remarquables : pour b = 2a, la boucle intérieure se résorbe en un rebroussement et l'on obtient la cardioïde ; pour b = a, le limaçon r = a(1 + 2 cos θ) est trisecteur : il permet, lui aussi, de partager un angle en trois.

Remarque. Cissoïde, strophoïde, conchoïde : trois procédés cousins pour engendrer des courbes depuis un pôle. La cissoïde reporte la différence OM₂ − OM₁ de deux courbes, la strophoïde reporte la distance variable KA à un point fixe, la conchoïde reporte une longueur constante b. Les trois transforment des figures élémentaires — droites et cercles — en cubiques et quartiques qui résolvent des problèmes inaccessibles à la règle et au compas.