Les quatre isométries du plan

Réglez une isométrie quelconque à l'aide des curseurs : un angle, un vecteur, et le choix de conserver ou non l'orientation. La page ne connaît que ces trois nombres — elle en déduit l'espèce, puis calcule et dessine l'objet qui la caractérise : le centre pour une rotation, l'axe pour une réflexion, l'axe et le glissement pour une glissée. Le tableau de droite s'allume dans la case correspondante.

figure d'origineimage directeimage renverséeaxecentre

Le cas limite qu'on oublie. Une rotation d'angle nul est une translation ; une translation de vecteur nul est l'identité. Les quatre espèces ne sont donc pas disjointes aux bords, et c'est normal : la vraie classification porte sur les classes de conjugaison, où l'identité, les translations et les rotations forment trois familles distinctes. Faites tourner l'angle jusqu'à 0° en gardant une translation : l'espèce bascule sous vos yeux.

Une isométrie est entièrement déterminée par les images de trois points non alignés — et la démonstration est constructive. Amenez le premier point sur son image par une réflexion : la médiatrice du segment fait l'affaire. Recommencez avec le deuxième, puis le troisième. Chaque étape fixe un point de plus sans défaire les précédents, et l'affaire est réglée en trois miroirs au maximum. La page exécute cette construction et compte les miroirs employés.

Pourquoi la parité suffit à tout classer. Un miroir renverse l'orientation ; un produit de k miroirs la conserve si et seulement si k est pair. Comme il en faut au plus trois, les isométries directes sont les produits de zéro ou deux miroirs — identité, rotations, translations — et les indirectes les produits d'un ou trois — réflexions et glissées. La classification en quatre espèces est une conséquence de la seule borne « trois ».

Composer deux isométries en donne une troisième — mais laquelle ? La règle des signes est immédiate : deux directes font une directe, une directe et une indirecte font une indirecte, deux indirectes font une directe. Le reste demande un calcul, que la page fait en direct pour les seize combinaisons. Et l'ordre compte : f∘g et g∘f sont de même espèce mais n'ont ni le même centre ni le même axe.

Le résultat le plus utile de la table. Deux rotations d'angles α et β se composent en une rotation d'angle α + β, sauf si α + β est un multiple de 360° — auquel cas le résultat est une translation. C'est cette exception qui fait exister les translations dans les groupes de pavage engendrés uniquement par des rotations : dans p2, les demi-tours autour de deux centres voisins engendrent la translation qui les sépare, doublée.

Donnez-vous une seule direction de translation — un bandeau, une grecque, une broderie, une balustrade — et demandez quelles autres isométries peuvent s'y ajouter. Il n'y a que sept réponses. Chacune se lit comme une recette : celle-ci n'a que la translation, celle-là y ajoute un miroir vertical, cette autre un demi-tour, cette dernière une glissée seule. La réflexion glissée, la plus discrète des quatre, est celle qui distingue deux des sept — et sans elle il n'y en aurait que cinq.

Avant les frises, les rosaces. Si l'on s'interdit toute translation, il ne reste que les groupes finis : les cycliques C_n, faits de n rotations, et les diédraux D_n, qui y ajoutent n miroirs. C'est le théorème de Léonard de Vinci, qui l'utilisait pour recenser les plans de chapelles centrées possibles. Une dimension de translation donne les sept frises ; deux dimensions donnent les dix-sept papiers peints. La progression 2 familles, 7, 17 tient tout entière au nombre de directions dans lesquelles on peut s'échapper.

L'élément décisif, et la raison profonde pour laquelle il n'y a que quatre espèces. Prenez une isométrie f et une autre g quelconque, et formez la conjuguée g∘f∘g⁻¹. Elle fait à la figure transportée par g exactement ce que f faisait à la figure d'origine : son centre est l'image du centre, son axe l'image de l'axe, son glissement l'image du glissement. L'espèce, elle, ne change jamais. C'est ce qui fait que « rotation », « réflexion », « glissée » sont des notions intrinsèques et non des accidents de repère.

objet de fobjet de la conjuguéeimage par g

Ce que la conjugaison classe.
Deux isométries conjuguées sont « la même à un déplacement près » : elles ont même espèce, même angle au signe près, même longueur de glissement. Les classes de conjugaison du groupe des isométries du plan sont donc l'identité, les translations selon leur longueur, les rotations selon leur angle, les réflexions — toutes conjuguées entre elles — et les glissées selon la longueur du glissement. C'est cette liste, et non le dénombrement des dessins possibles, qui constitue la véritable classification des isométries du plan.