Un plan Π pivote autour d’une droite fixe Δ, parallèle à l’axe des x et située à la hauteur h. À chaque instant, son intersection avec le dodécaèdre régulier découpe un polygone convexe dont le nombre de côtés varie de 3 à 10. Saisissez la figure pour changer de point de vue.
Le dodécaèdre régulier possède 20 sommets, 30 arêtes et 12 faces pentagonales. Ses sommets s’obtiennent en complétant les 8 sommets du cube (±1, ±1, ±1) par les 12 points (0, ±1/φ, ±φ), (±1/φ, ±φ, 0) et (±φ, 0, ±1/φ), où φ = (1+√5)/2 est le nombre d’or.
Le plan Π contient la droite Δ = {(t, 0, h), t ∈ ℝ} et a pour normale n(θ) = (0, cos θ, sin θ). Un point M appartient à Π lorsque n(θ) · (M − (0, 0, h)) = 0.
Le solide étant convexe, sa section par un plan est toujours un polygone convexe : chaque arête traversée par Π fournit exactement un sommet du polygone, calculé par interpolation linéaire le long de l’arête. Lorsque Δ passe par le centre (h = 0), la section est centralement symétrique — hexagones, octogones et décagones se succèdent. En écartant la droite du centre (h proche du rayon circonscrit √3 ≈ 1,732), apparaissent triangles, quadrilatères et pentagones près des sommets et des faces du solide.
Le panneau « vraie grandeur » redresse le polygone dans le repère du plan Π (base : direction de Δ et n × Δ), ce qui permet de lire son aire exacte par la formule des lacets, sans la déformation de la perspective.