Les dix-sept groupes de pavage

Une isométrie du plan conserve les distances. Il n'y en a que quatre sortes : la translation, la rotation, la réflexion et la réflexion glissée — un miroir suivi d'un glissement le long de son axe, la seule des quatre qui ne laisse aucun point fixe tout en retournant la figure. Toutes s'obtiennent en composant des miroirs : deux miroirs sécants donnent une rotation du double de leur angle, deux miroirs parallèles une translation du double de leur écart.

motif d'origineimage conservant l'orientationimage retournée

Pourquoi quatre et pas davantage. Une isométrie du plan est déterminée par l'image de trois points non alignés, et se décompose en au plus trois réflexions. Une réflexion : miroir. Deux : rotation ou translation selon que les axes se coupent ou non. Trois : réflexion glissée. Il n'y a pas de cinquième cas, et c'est ce qui rend la classification des pavages possible.

Un pavage ne peut pas avoir de symétrie d'ordre 5. La preuve tient en une figure : soient A et B deux points du réseau à la distance minimale d. Faites tourner B autour de A d'un angle θ, et A autour de B de −θ : les deux images A′ et B′ appartiennent encore au réseau, et le vecteur A′B′ est parallèle à AB, de longueur d·|2cos θ − 1|. Comme c'est un vecteur du réseau parallèle au plus court, cette longueur doit être nulle ou au moins d. Il ne reste que 2cos θ = −1, 0, 1, 2 — soit les ordres 1, 2, 3, 4 et 6.

La faille par laquelle passent les quasi-cristaux. L'argument suppose qu'il existe une distance minimale entre points du réseau — autrement dit que le motif est périodique. Un pavage de Penrose, apériodique, échappe à cette contrainte et affiche sans difficulté une symétrie d'ordre 5 ; les alliages quasi-cristallins découverts par Shechtman en 1982 aussi, ce qui lui a d'abord valu d'être prié de quitter son laboratoire, puis le prix Nobel en 2011.

Avant les motifs, il y a la trame. Un réseau du plan est engendré par deux vecteurs indépendants, et il n'existe que cinq types selon la symétrie ponctuelle du réseau lui-même : oblique, rectangulaire, rectangulaire centré (ou losange), carré et hexagonal. Déplacez les deux vecteurs de base : la classification se fait toute seule, et la maille de Voronoï — l'ensemble des points plus proches de l'origine que de tout autre nœud — change de forme au passage.

Le réseau centré n'est pas un cinquième caprice. Un réseau losange peut se décrire par une maille primitive en losange, ou par une maille rectangulaire deux fois plus grande portant un nœud en son centre. La seconde description est moins économique mais met en évidence les deux miroirs perpendiculaires — c'est celle que retiennent les cristallographes, et c'est de là que viennent les lettres c de cm et cmm.

Voici la collection complète. Le même motif asymétrique est reproduit par tous les éléments du groupe, puis par toutes les translations du réseau ; les copies conservant l'orientation sont bleues, les copies retournées sont ocre. Les éléments de symétrie affichés par-dessus ne sont pas dessinés à la main : ils sont déduits de la table du groupe — chaque transformation est classée, son centre de rotation ou son axe calculé, puis reporté sur la figure.

centres de rotationmiroirsréflexions glissées

Deux paires qui piègent tout le monde. p3m1 et p31m ont le même réseau, le même ordre, les mêmes rotations d'ordre 3 et les mêmes miroirs — et ce sont deux groupes différents : dans p3m1 tous les centres d'ordre 3 sont sur des miroirs, dans p31m l'un d'eux n'y est pas. Même piège entre p4m et p4g. La notation orbifold lève l'ambiguïté d'un seul regard : *333 contre 3*3, *442 contre 4*2 — l'étoile est placée là où sont les miroirs.

L'élément décisif. Conway associe à chaque groupe une signature et à chaque symbole un coût : 2 pour une anse ○, 1 pour un miroir * ou un croisement ×, (n−1)/n pour un centre de rotation d'ordre n libre, et la moitié, (n−1)/2n, pour un coin d'ordre n posé sur un miroir. Un pavage du plan existe si et seulement si la somme vaut exactement 2 — ni plus, ni moins. Le programme ci-dessous énumère toutes les signatures possibles jusqu'à l'ordre 12 et n'en trouve que dix-sept.

Pourquoi 2, et pourquoi c'est une preuve. Le coût est, au signe près, la caractéristique d'Euler de l'orbifold quotient du plan par le groupe. Le plan étant euclidien, cette caractéristique doit être nulle, ce qui impose la somme 2. Un coût inférieur à 2 donne les groupes de la sphère — les rosaces et les polyèdres réguliers — et un coût supérieur, les innombrables groupes du plan hyperbolique, ceux des gravures de Escher où les motifs rapetissent en s'approchant du bord. Le plan euclidien est la mince frontière entre les deux, et dix-sept en est toute la population.