Toute l'analyse tient dans un seul geste : faire tendre quelque chose vers autre chose. Un intervalle vers un point, un quotient vers une pente, une somme vers une aire. Cinq planches pour voir ce geste fonctionner — et, à la fin, pour voir ce qu'il détruit au passage.
Avant les limites, il faut un endroit où les limites existent. Coupons l'intervalle [1 ; 2] en deux, gardons la moitié où x² − 2 change de signe, recommençons. Chaque borne est un nombre rationnel ; le point visé, lui, ne l'est pas.
La même chasse menée avec des fractions : la suite de Héron un+1 = (un + 2/un)/2, calculée ici en arithmétique entière exacte.
| n | un = p/q | valeur décimale (en vert, les décimales justes de √2) | justes | p² − 2q² |
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Dès la première itération, le numérateur de un² − 2 vaut exactement 1, et il le reste : aucune de ces fractions n'a pour carré 2, et il en irait de même pour toutes les autres. La suite converge pourtant — ses termes se resserrent autant qu'on veut. C'est cela qui manque à ℚ et que ℝ ajoute : la garantie qu'un emboîtement de segments qui se referme contient bien un point. Tout le reste de la page repose sur cette phrase.
« un tend vers L » ne veut pas dire que la suite s'approche : cela veut dire que quelle que soit la bande ±ε qu'on trace autour de L, la suite finit dedans et n'en sort plus. Rétrécissez la bande : le rang d'entrée N recule, mais il existe toujours.
Le diamètre de la queue est le plus grand écart entre deux termes de rang ≥ N. Il se calcule sans connaître la limite : c'est le critère de Cauchy. Quand il tend vers 0, la suite converge — dans ℝ, et grâce à la planche 1.
Un seul curseur commande les deux dessins. À gauche, un quotient : la corde entre x₀ et x₀ + h bascule vers la tangente. À droite, une somme : les rectangles de largeur h remplissent l'aire. Ce sont les deux seules opérations nouvelles de l'analyse, et ce sont deux passages à la limite.
Les deux écarts tombent à la même vitesse : proportionnels à h. En divisant l'un par h et en multipliant l'autre par n, on ne trouve pas 0 mais deux nombres bien définis, prédits par la théorie : f ″(x₀)/2 d'un côté, (b − a)(f(b) − f(a))/2 de l'autre. Une limite bien posée ne se contente pas d'exister : elle a une vitesse, et cette vitesse se mesure.
En haut, l'aire sous f depuis a jusqu'à x, calculée par la méthode de Simpson. En bas, cette aire portée en ordonnée : une nouvelle fonction F. Déplacez x et regardez la tangente à F : sa pente est la hauteur du bord droit de l'aire, c'est-à-dire f(x). Rien d'évident là-dedans — c'est le théorème fondamental.
L'aire calculée point par point et la primitive écrite à la main coïncident à — près, et la pente lue sur la courbe du bas redonne la hauteur lue en haut. Dériver et intégrer sont deux mouvements inverses — et la charnière de la démonstration est le théorème des accroissements finis, que le second bouton fait apparaître : entre deux points d'une courbe dérivable, il existe toujours au moins une tangente parallèle à la corde.
Pourquoi les mathématiciens du XIXe siècle ont-ils remplacé « s'approche indéfiniment » par des ε et des N ? Parce que le passage à la limite est un traître. Voici trois suites de fonctions parfaitement raisonnables, dont la limite perd chaque fois une propriété que toutes possédaient.
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