Une seule idée les engendre toutes : ajouter dans les abscisses revient à multiplier dans les ordonnées. Cinq planches la suivent jusqu'à ses conséquences, chaque affirmation étant recalculée sous vos yeux et confrontée à la formule classique.
Déplacez u et v : la hauteur atteinte en u+v est toujours le produit des deux hauteurs atteintes en u et en v. Le couple mobile montre l'autre visage de la même règle : avancer d'une unité multiplie par b, où qu'on se trouve sur la courbe.
courbe y = bx f(u) f(v) f(u+v) couple mobile x et x+1
Une fonction continue non nulle qui vérifie f(x+y) = f(x)·f(y) n'a pas le choix : elle vaut bx avec b = f(1). Faire x = y = 0 impose f(0) = 1 ; les entiers suivent par récurrence, les rationnels par extraction de racines, les réels par continuité. Tout le reste de la page découle de cette seule ligne.
Toutes ces courbes passent par (0 ; 1), mais chacune y arrive avec sa propre pente. Une seule base donne exactement la pente 1, c'est-à-dire une tangente confondue avec la droite y = 1 + x. Le bouton la cherche par dichotomie, sans jamais employer de logarithme : le critère est la pente mesurée sur la courbe par différences centrées améliorées.
y = bx tangente en 0 droite y = 1 + x intervalle de la dichotomie
Le rapport f′(x)/f(x) ne dépend pas de x : c'est la signature de l'exponentielle, et il vaut ln b. Choisir la base qui rend ce rapport égal à 1, c'est choisir la fonction qui est sa propre dérivée. Ce nombre-là, la dichotomie le trouve à l'aveugle et la série 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + … le retrouve par un tout autre chemin.
Le banquier et l'analyste ne construisent pas la même chose. Le premier compose les intérêts de plus en plus souvent, le second empile des monômes. Les deux arrivent au même endroit, mais pas à la même vitesse : l'un gagne un chiffre quand n est multiplié par dix, l'autre en gagne plusieurs à chaque terme.
y = ex approximation courante étapes précédentes abscisse témoin
| n | approximation en x = 1 | écart à e | écart × n |
|---|
La première construction converge en 1/n : l'écart multiplié par n se fige sur x²ex/2, soit 1,359141 en x = 1, moitié du nombre e lui-même. La seconde converge à la vitesse d'une factorielle : seize termes suffisent pour tomber sous 10⁻¹⁴, et la colonne de droite se met alors à afficher n'importe quoi — c'est l'arrondi de la machine qui a pris la place de l'erreur de troncature. Voilà pourquoi personne ne calcule jamais e avec des intérêts composés.
Partout où une grandeur varie proportionnellement à elle-même — capital, population, noyaux radioactifs, refroidissement — la solution est une exponentielle et rien d'autre. Le champ de directions montre la contrainte, la courbe la suit. La méthode d'Euler, elle, coupe les virages : son erreur est mesurée et son ordre confirmé.
solution exacte y₀eat méthode d'Euler au pas h doublement ou demi-vie champ de directions
En échelle semi-logarithmique, toute exponentielle devient une droite de pente a/ln 10 : c'est le test que fait le physicien devant des données brutes. L'erreur d'Euler, elle, est proportionnelle au pas — la pente log-log mesurée sur six divisions successives du pas se tient à 1,00 à quelques millièmes près. Diviser le pas par deux ne fait gagner qu'un facteur deux, ce qui explique qu'on ne s'en contente jamais.
Rien dans les planches précédentes n'obligeait x à être réel. Si on autorise un exposant imaginaire, la fonction qui multipliait les longueurs se met à faire tourner le plan — et la même formule décrit désormais un capital qui croît et un pendule qui oscille.
La marche à petits pas est la même que celle du banquier : multiplier n fois par (1 + iθ/n), c'est faire n fois une toute petite rotation accompagnée d'un tout petit étirement. L'étirement s'évanouit comme θ²/2n, la rotation survit et totalise θ. À la limite, il ne reste que le tour : eiθ = cos θ + i sin θ, et pour θ = π le point de départ 1 arrive exactement en −1. Le troisième volet remet un peu de réel dans l'exposant : la rotation devient spirale, et l'oscillation amortie du physicien n'est que l'ombre de cette spirale sur l'axe horizontal. On y lit au passage un détail instructif — la pseudo-période, mesurée entre deux zéros, tombe juste au dernier chiffre, alors que la position d'un maximum, elle, résiste à 10⁻⁸ près : un maximum est plat, un zéro ne l'est pas.