Cahier de géométrie — géométrie projective
Une seule opération engendre toute la perspective : la projection centrale. On place l'œil en un point O, on tend un plan — le tableau — entre l'œil et le monde, et l'on marque, pour chaque point de l'espace, l'endroit où le rayon visuel perce le tableau. Tout le reste — la fuite des parallèles, la ligne d'horizon, le carrelage d'Alberti — n'est qu'une conséquence calculable de cette définition.
Les cinq planches qui suivent établissent successivement la loi de décroissance en 1/distance, l'existence du point de fuite comme image d'un point à l'infini, l'invariant unique de la projection (le birapport), la validation numérique de la costruzione legittima de 1435, et — pour finir — la restitution de la position de l'œil à partir de la seule image. Chaque résultat est confronté à sa formule classique ; les écarts affichés sont ceux du calcul en double précision.
Coupe verticale. L'œil est en O, le tableau est le plan vertical situé à la distance d. Un poteau de hauteur H planté à la distance x a pour image, par triangles semblables, un segment de hauteur h′ :
h′ = d·H / x ⟹ x · h′ = d · H = constante
Ce que montre la planche. Les sommets des quatre poteaux, tous de même hauteur réelle, se rangent sur une même droite qui vient mourir sur la ligne d'horizon : c'est déjà un point de fuite. Le produit x·h′ reste rigoureusement constant, et l'angle sous lequel l'œil voit le poteau est le même que celui sous lequel il voit son image — ce qui est la définition même du tableau « bien vu ».
Soit une droite du sol P(t) = A + t·u, de direction u = (sin θ, cos θ, 0). Son image quand t → ∞ tend vers un point qui ne dépend plus de A, mais de la seule direction :
F = ( d·tan θ , 0 )
Ce que montre la planche. Toutes les directions horizontales ont leur point de fuite sur une seule et même droite du tableau, à la hauteur de l'œil : la ligne d'horizon. Une direction parallèle au tableau fait exception — son point de fuite est rejeté à l'infini et les images restent parallèles. Enfin, pour deux directions perpendiculaires, uF · uF′ = −d² : cette relation d'orthogonalité, vérifiée ici à 10⁻¹⁶ près, est la clef de la planche V.
La projection centrale ne conserve ni les longueurs, ni les rapports de longueurs, ni les milieux. Elle conserve exactement une quantité, formée de quatre points alignés A, B, C, D d'abscisses a, b, c, e :
(A,B;C,D) = [(c−a)(e−b)] / [(c−b)(e−a)]
Ce que montre la planche. Les rapports de longueurs sont détruits par la perspective, le birapport ne l'est pas — il est le seul invariant numérique d'une projection centrale. Quatre points équidistants donnent toujours 4/3, avant comme après. Et si l'on prend pour quatrième point le point de fuite F lui-même — c'est-à-dire l'image du point à l'infini de la droite — le birapport image redonne le rapport réel CA/CB : c'est ainsi qu'on mesure des distances sur une photographie.
Le carrelage du sol est le banc d'essai de la perspective depuis 1435. Les fuyantes (perpendiculaires au tableau) convergent au point principal ; les transversales (parallèles au tableau) restent horizontales et se resserrent en vn = −d·h/(y0+n·a), suite harmonique. Alberti les construit autrement : par une diagonale menée au point de distance.
Ce que montre la planche. La diagonale d'un carreau est une droite du sol de direction (1,1,0) : son point de fuite tombe sur l'horizon à l'abscisse exactement égale à d. Le point de distance mesure donc, sur le tableau lui-même, la distance à laquelle le peintre a placé son œil. Les intersections que cette diagonale découpe sur les fuyantes coïncident avec les transversales projetées directement, à 10⁻¹⁶ près : la recette du De pictura est un théorème, non une approximation d'atelier.
Un cube donne trois directions deux à deux perpendiculaires, donc trois points de fuite V1, V2, V3. Si P est le point principal et f la distance de l'œil au tableau, l'orthogonalité impose (Vi−P)·(Vj−P) = −f² pour tout couple. En soustrayant deux de ces relations : (V2−P)·(V1−V3) = 0.
P = orthocentre du triangle V1V2V3 et f = √( −(V1−P)·(V2−P) )
Ce que montre la planche. Le cadre du tableau (36 × 24 mm ici) ne contient aucun des trois points de fuite : la construction vit dans le plan tout entier, bien au-delà de l'image. Pourtant, en prolongeant les seules arêtes visibles, on retrouve l'orthocentre — donc le point principal, à 10⁻¹³ mm près — puis la focale, identique à 10⁻¹² près à celle qui a servi à tracer le cube. Une image de perspective contient la position de l'œil qui l'a produite. C'est le principe des restitutions de tableaux d'architecture, et celui du calibrage d'une caméra à partir d'une simple boîte.