Systèmes dynamiques

La théorie du chaos

Quand un milliardième de différence au départ change tout à l'arrivée : cinq expériences à manipuler sur la sensibilité aux conditions initiales.

Qu'est-ce que le chaos ?

Un système est chaotique quand il obéit à des lois parfaitement précises — rien n'y est laissé au hasard — et que pourtant son avenir devient impossible à prévoir, parce qu'une différence infime au départ grandit jusqu'à tout changer. On parle de sensibilité aux conditions initiales : les « conditions initiales » sont l'état du système à l'instant où l'on commence (position, vitesse, température…).

Ingrédient	Ce que cela veut dire	Où le voir sur cette page
Déterminisme	Le même état de départ donne toujours exactement le même avenir. Il n'y a ni dé ni bruit.	Toutes les planches : chaque calcul est rejouable à l'identique.
Sensibilité	Deux départs voisins, séparés d'un écart δ₀, s'éloignent en moyenne comme δ₀ · e^λt. Le nombre λ est l'exposant de Lyapunov : le taux de croissance moyen de l'écart.	Planches 1 à 4 : λ est mesuré et comparé à une valeur de référence.
Confinement	Le mouvement reste dans une région bornée : l'écart ne peut pas grandir indéfiniment, les trajectoires sont étirées puis repliées, et finissent par n'avoir plus rien à voir l'une avec l'autre.	Planches 2 et 4 : l'écart sature à la taille du billard ou de l'attracteur.

La conséquence pratique est l'horizon de prévisibilité. Si l'on connaît l'état initial à δ₀ près et que l'on tolère une erreur Δ, la prévision reste valable tant que δ₀ e^λt < Δ, c'est-à-dire jusqu'à

t_* ≈ (1/λ) · ln(Δ / δ₀)

Le logarithme est la clé : mesurer dix fois plus précisément n'ajoute que ln(10)/λ au temps de prévision, une durée fixe, aussi coûteuse que soit la mesure. Chaque planche va mesurer cette loi sur un problème différent.

« Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard. »Henri Poincaré, Science et méthode, 1908

Doubler l'erreur à chaque pas

Comment une erreur d'un dix-milliardième peut-elle devenir aussi grande que le résultat lui-même en quelques dizaines d'étapes ?

Prenons la règle la plus simple possible : un nombre x entre 0 et 1, et à chaque pas on le remplace par x_n+1 = 4 x_n (1 − x_n) (l'application logistique). On lance le calcul deux fois : depuis x₀ (en bleu) et depuis x₀ + δ (en orange).

Pourquoi l'écart explose-t-il ? En posant x = sin²(πθ), la règle devient simplement θ ↦ 2θ (modulo 1) : chaque pas double l'angle, donc double aussi toute erreur sur l'angle. L'exposant de Lyapunov vaut exactement λ = ln 2. Ce changement de variable donne aussi la vraie solution, x_n = sin²(π·2ⁿθ) : si θ = p/q est une fraction, 2ⁿp modulo q se calcule en nombres entiers, sans aucune erreur d'arrondi (points verts).

départ x₀ (calcul machine)départ x₀ + δvraie valeur (calcul exact)

Les valeurs x_n pas à pas. Le trait rouge pointillé marque l'instant où les deux calculs diffèrent de plus de 0,1.

écart entre les deux départsécart machine ↔ vraie valeurloi δ · 2ⁿ

Les écarts sur une échelle logarithmique (10⁻¹⁰, 10⁻⁹…) : une croissance exponentielle y devient une droite.

Départ x₀

Perturbation δ

Nombre de pas

Pas où les deux départs se séparent (écart > 0,1)—

Prévision log₂(0,1/δ)—

Croissance moyenne de l'écart par pas jusqu'à 10⁻² (en log₁₀) / théorie log₁₀2—

Exposant λ mesuré sur 10⁶ pas / ln 2—

Pas où l'ordinateur perd la vraie trajectoire—

Chaque pas multiplie l'erreur par 2 en moyenne. Diviser δ par 10 ne retarde la séparation que de log₂10 ≈ 3,3 pas. Et même sans perturbation volontaire, l'ordinateur, qui garde 16 chiffres significatifs, commet une erreur d'arrondi de l'ordre de 10⁻¹⁶ : elle double à son tour et le calcul machine perd la vraie trajectoire au pas indiqué en rouge (~50 ici). L'ordinateur lui-même est victime de la sensibilité.

Le billard : rond ou stade ?

Faut-il des équations compliquées pour être chaotique ? Non : une bille qui rebondit sans frottement suffit — tout dépend de la forme de la table.

Deux billes partent du même point avec des directions qui diffèrent d'un angle δ minuscule. Sur une table ronde (segment droit de longueur nulle), chaque rebond se fait avec le même angle d'incidence : l'écart grandit, mais seulement proportionnellement au temps. Sur un stade (deux demi-cercles reliés par des segments droits, étudié par Leonid Bunimovich dans les années 1970), les parois courbes font diverger les trajectoires comme une loupe à l'envers, à chaque passage : l'écart grandit exponentiellement.

bille 1bille 2 (angle + δ)

La table vue de dessus. Les deux billes se superposent d'abord parfaitement, puis se séparent.

table choisietable ronde (référence)seuil 0,1

Distance entre les deux billes (échelle logarithmique) en fonction du temps. La bille parcourt une unité de longueur par unité de temps ; la table a un rayon 1.

Demi-longueur du segment droit

Écart d'angle δ

Direction de départ

Temps / rebonds (bille 1)—

Distance actuelle entre les billes—

Table choisie : séparation (> 0,1) au temps—

Table ronde : exposant de croissance mesuré (écart ∝ t^p)—

Table ronde : séparation extrapolée au temps—

Contrôle : angle d'incidence sur la table ronde, variation en 1000 rebonds—

Sur la table ronde, l'écart est multiplié par 10 quand le temps est multiplié par 10 (exposant p ≈ 1) : pour δ = 10⁻⁸, il faudrait des dizaines de millions d'unités de temps avant que les billes se séparent. Sur le stade, la même précision ne tient que quelques dizaines d'unités de temps. Ramenez le segment droit à 0 : la table redevient ronde et le chaos disparaît. C'est la forme, pas la complexité, qui crée le chaos.

Le pendule double

Un objet de laboratoire : une tige accrochée au bout d'une autre tige. Lâchons plusieurs exemplaires presque identiques en même temps.

Deux tiges de 1 m portant chacune une masse de 1 kg, sans frottement. Les équations du mouvement (équations de Lagrange) donnent l'accélération de chaque tige en fonction des deux angles et des deux vitesses ; on les intègre pas à pas par la méthode de Runge-Kutta d'ordre 4 (pas de 2 ms). On lâche un éventail de pendules : l'angle de départ de la seconde tige diffère de δ d'un pendule au suivant.

Les pendules, du bleu (angle de départ exact) à l'orange (le plus décalé). La traînée suit la masse du bas.

Position horizontale de la masse du bas (en m) pour chaque pendule, sur 40 s. Le trait rouge pointillé marque l'instant calculé où l'éventail s'ouvre (écart angulaire > 1 rad).

Angle de départ θ₁

Angle de départ θ₂

Nombre de pendules

Décalage δ

Temps simulé—

Ouverture actuelle de l'éventail—

L'éventail s'ouvre (> 1 rad) au temps—

Temps gagné par chiffre de précision (δ de 10⁻³ à 10⁻¹²)—

Contrôle : dérive relative de l'énergie—

Contrôle : aller-retour (5 s / 10 s / 20 s puis vitesses inversées), écart au départ—

Aux petites oscillations, le pendule double se comporte comme deux ressorts couplés : l'éventail reste fermé. Au grand lancer, il s'ouvre en quelques secondes, et chaque chiffre de précision supplémentaire ne fait gagner que quelques secondes. Le contrôle d'aller-retour est parlant : les équations sont réversibles (on revient au départ en inversant les vitesses), mais l'erreur d'arrondi de 10⁻¹⁶ est amplifiée à l'aller comme au retour — après 20 s d'aller, le retour échoue complètement.

Prévoir le temps qu'il fera

Pourquoi les prévisions météorologiques ne dépassent-elles pas une quinzaine de jours, malgré des ordinateurs toujours plus puissants ?

En 1961, le météorologue Edward Lorenz relance un calcul de son modèle d'atmosphère en recopiant des valeurs arrondies à trois décimales (0,506 au lieu de 0,506127) : la « météo » simulée finit par ne plus rien avoir de commun avec la première. En 1963, il réduit la convection de l'air à trois équations : ẋ = 10 (y − x), ẏ = x (28 − z) − y, ż = x y − (8/3) z, qui présentent la même sensibilité. Les centres de prévision font aujourd'hui des prévisions d'ensemble : au lieu d'un seul calcul, des dizaines de calculs partant d'états initiaux tous compatibles avec les mesures. Ici, un nuage de 300 états initiaux, tous à moins de δ du point rouge.

L'attracteur de Lorenz vu dans le plan (x, z) en gris ; le nuage de prévisions en bleu, l'état « vrai » en rouge avec sa trajectoire récente.

dispersion du nuageloi e^λt, λ = 0,906

Dispersion du nuage (écart quadratique moyen à l'état vrai, échelle logarithmique). Au-delà de 1, la prévision ne vaut plus grand-chose ; la dispersion plafonne ensuite à la taille de l'attracteur.

Incertitude de mesure δ

Point de départ sur l'attracteur

Temps simulé—

Dispersion actuelle du nuage—

Horizon de ce nuage (dispersion > 1)—

Horizon prévu ln(1/δ)/λ—

Exposant λ mesuré (méthode de Benettin, 2000 unités de temps) / valeur publiée—

horizon moyen mesuré (40 départs)droite ajustéepente théorique ln10/λ

Horizon moyen (écart > 1) en fonction du nombre de chiffres exacts dans la mesure initiale (δ = 10⁻¹ à 10⁻¹²). C'est une droite : chaque chiffre coûte dix fois plus cher et rapporte toujours la même durée.

Pente mesurée (temps gagné par chiffre)—

Pente théorique ln 10 / λ—

Passer de 6 à 12 chiffres exacts — un million de fois plus précis — ne repousse l'horizon que d'environ 15 unités de temps. Pour l'atmosphère réelle, dont les petits tourbillons ont des temps de doublement de l'ordre de l'heure, l'horizon de prévisibilité est estimé à environ deux semaines : ce n'est pas une limite des ordinateurs, c'est une propriété de l'atmosphère.

Signature — les bassins fractals du pendule magnétique

On sait que la bille finira immobile sur l'un des trois aimants. Mais sur lequel ?

Une bille de fer suspendue à un fil oscille au-dessus de trois aimants (bleu, orange, vert) ; un léger frottement finit toujours par l'arrêter sur l'un d'eux. Pour chaque point de départ (bille lâchée sans vitesse), on calcule l'aimant d'arrivée et l'on colore le point de sa couleur : c'est la carte des bassins d'attraction. La teinte est d'autant plus foncée que la bille met longtemps à se poser. Modèle : ẍ = −0,2 ẋ − 0,5 x + Σ (aimantᵢ − x) / (|aimantᵢ − x|² + 0,25²)^3/2.

Cliquez sur la carte : deux billes partent du point cliqué et d'un point voisin à ε près. Leurs trajectoires sont tracées en bleu foncé et en rouge. En mode « zoomer », le clic agrandit trois fois autour du point.

Au clic

Finesse

Écart ε entre les deux billes

Calcul de la carte—

Grossissement / largeur de la fenêtre—

Bille 1 finit sur l'aimantcliquez sur la carte

Bille 2 (décalée de ε) finit sur l'aimant—

Verdict—

Contrôle : symétrie gauche-droite de la carte (pixels en désaccord)—

Loin des frontières, de grandes plages d'une seule couleur : là, une petite erreur sur le départ ne change rien. Mais près des frontières, les trois couleurs s'entremêlent à toutes les échelles — zoomez plusieurs fois, le motif ne se simplifie pas. Cliquez près d'une frontière avec ε = 10⁻⁶ : un millionième de décalage suffit souvent à changer d'aimant.

Tirons au hasard des milliers de points de départ, et pour chacun un voisin à la distance ε. Notons f(ε) la proportion de départs incertains : ceux dont le voisin finit sur un autre aimant. Si la frontière entre bassins était une courbe lisse, f(ε) serait proportionnelle à ε (exposant 1). Pour une frontière fractale, on trouve f(ε) ∝ ε^α avec un exposant α < 1 (l'exposant d'incertitude), et la dimension de la frontière vaut D = 2 − α.

proportion mesuréedroite ajustéefrontière lisse (pente 1)

log₁₀ f(ε) en fonction de log₁₀ ε, sur 1 500 départs tirés dans le carré [−2 ; 2]².

Progression—

Exposant d'incertitude α (pente mesurée, ε de 3·10⁻² à 10⁻⁴)—

Dimension de la frontière D = 2 − α—

Gain quand ε est divisé par 10 : f divisée par 10^α—

Contrôle : même aimant avec un pas de calcul deux fois plus fin (400 départs)—

Avec une frontière lisse, mesurer le point de départ dix fois mieux diviserait par dix la proportion de départs dont on ignore l'issue. Ici, elle n'est divisée que par ≈ 6 : la frontière fractale rend l'amélioration de la mesure moins rentable encore. C'est le chaos sous sa forme la plus nette : non plus « où sera la bille dans 30 s ? », mais « où finira-t-elle ? » — une question dont la réponse est certaine, et pourtant inaccessible près des frontières.

Une brève histoire du chaos

1890Henri Poincaré, en étudiant le problème des trois corps pour le prix du roi Oscar II de Suède, découvre des trajectoires d'une complexité inouïe : la sensibilité aux conditions initiales apparaît en mécanique céleste.

1898Jacques Hadamard montre que les géodésiques d'une surface à courbure négative s'écartent exponentiellement : un premier « billard chaotique ».

1908Poincaré, dans Science et méthode, explique qu'une cause trop petite pour être vue peut déterminer un effet considérable, et cite la météorologie.

1963Edward Lorenz publie « Deterministic nonperiodic flow » : trois équations, un attracteur étrange, et la fin de l'espoir d'une prévision météorologique à long terme.

1972Lorenz intitule une conférence « Un battement d'ailes de papillon au Brésil peut-il provoquer une tornade au Texas ? » : l'« effet papillon » entre dans le langage courant.

1974Leonid Bunimovich commence à étudier les billards à parois focalisantes ; le stade devient l'exemple type de billard chaotique.

1975Tien-Yien Li et James Yorke, dans « Period three implies chaos », donnent au phénomène le nom de chaos.

1976Robert May popularise l'application logistique, modèle de population au comportement chaotique.

1992Les centres de prévision européen (CEPMMT) et américain lancent les prévisions d'ensemble opérationnelles : la sensibilité aux conditions initiales devient un outil de travail quotidien.

Ce qu'il faut retenir

Déterministe mais imprévisible

Aucun hasard dans les équations : le chaos vient de l'amplification des petites erreurs. Un billard, un pendule ou une règle d'une ligne suffisent.

Un horizon logarithmique

L'écart croît comme e^λt. Chaque chiffre de précision ne rapporte que ln 10 / λ de temps de prévision : 3,3 pas pour la logistique, environ 2,5 unités pour Lorenz.

Des frontières fractales

Même l'issue finale peut être imprévisible : près des frontières fractales entre bassins, aucune précision finie ne permet de savoir où la bille finira.

Pour aller plus loin

Définition de l'exposant de Lyapunov. Pour une application x_n+1 = f(x_n), λ = lim (1/N) Σ ln|f′(x_n)| ; pour une équation différentielle, λ = lim (1/t) ln(δ(t)/δ₀) quand δ₀ → 0. La méthode de Benettin (planche 4) suit deux trajectoires voisines et ramène régulièrement leur écart à δ₀ pour éviter la saturation.

Pourquoi l'ordinateur mesure-t-il quand même le bon λ ? Le calcul machine s'écarte de la vraie trajectoire au bout de ~50 pas (planche 1), mais le lemme d'ombrage garantit, pour de nombreux systèmes chaotiques, qu'il reste proche d'une autre vraie trajectoire. Les statistiques (λ, forme de l'attracteur) restent donc justes, même si le détail est faux.

Chaos et hasard. Le chaos n'est pas le hasard, mais il le fabrique : un dé, une roulette ou un tirage du loto sont des systèmes mécaniques déterministes, dont l'issue dépend de manière chaotique de gestes imperceptibles.

Tout n'est pas chaotique. Les petites oscillations du pendule double (planche 3) ou la table ronde (planche 2) montrent des mouvements réguliers, où l'écart croît au plus comme une puissance du temps. Dans la plupart des systèmes réels, régions régulières et régions chaotiques coexistent (théorème KAM).

Pour prolonger. Sur ce site, la page consacrée à la cascade de Feigenbaum montre comment l'application logistique devient chaotique quand son paramètre augmente, et la page sur les bases de l'analyse et des systèmes dynamiques conduit de la dérivée jusqu'à l'attracteur de Lorenz.