Mécanique

Dynamique du solide : la toupie et le gyroscope

Suite de la page sur la dynamique du solide. Pourquoi une roue qui tourne refuse-t-elle de tomber ? Pourquoi une toupie penchée tourne-t-elle lentement autour de la verticale en dessinant des festons ? Pourquoi la Terre elle-même change-t-elle d'étoile polaire ? Une seule loi, dL/dt = M, et les équations d'Euler répondent à tout.

L'idée : trois angles et une loi

Une toupie est un solide qui tourne vite autour de son axe de symétrie en appuyant sur une pointe. Un gyroscope est la même chose montée sur un support : une roue lourde qui tourne vite, dont l'axe est libre de s'orienter.

Pour dire où est l'axe et comment la toupie tourne, on utilise les trois angles d'Euler. L'angle θ (inclinaison) mesure l'écart de l'axe à la verticale. L'angle φ (précession) repère la direction vers laquelle l'axe penche, comme un cap sur une boussole. L'angle ψ (rotation propre) dit de combien la toupie a tourné sur elle-même. Les mouvements correspondants portent des noms : la rotation propre (ψ augmente vite), la précession (φ augmente lentement : l'axe fait le tour de la verticale) et la nutation (θ oscille : l'axe « hoche la tête »).

Les trois angles d'Euler sur une toupie animée. En gris : les axes fixes x, y, z (z vertical). En pointillé violet : la ligne des nœuds, intersection du plan horizontal et du plan du disque. Faites glisser le dessin pour tourner la vue.

Tout le mouvement découle d'une seule loi, la version « rotation » de F = m a :

dL/dt = M

où L est le moment cinétique (le vecteur « quantité de rotation », dirigé le long de l'axe de rotation et d'autant plus long que la toupie est lourde et rapide) et M le moment des forces (le couple qui agit sur elle). La différence avec la translation, qui fait tout le charme du sujet : M et L sont des vecteurs, et un couple perpendiculaire à L ne change pas sa longueur, il le fait tourner.

À retenir. Une toupie qui tourne vite ne « tient » pas debout par magie : la pesanteur agit bien sur elle, mais son couple fait pivoter le moment cinétique au lieu de l'abattre. Les cinq planches montrent ce mécanisme de plus en plus finement, jusqu'aux équations complètes d'Euler.
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La roue de vélo qui refuse de tomber

On tient une roue de vélo par un seul bout de son axe, posé sur un pivot. Sans rotation, elle tombe comme un pendule. Si elle tourne vite, son axe reste presque horizontal et tourne lentement autour du pivot : c'est la précession.

Le poids m g, appliqué au centre de la roue à la distance d du pivot, exerce un couple M = m g d, horizontal et perpendiculaire à l'axe. Pendant un court instant dt, il ajoute à L un petit morceau dL = M dt perpendiculaire à L : l'axe tourne d'un angle dφ = M dt / L. D'où la vitesse de précession :

Ω = m g d / (I3 ω)   (I3 : moment d'inertie de la roue autour de son axe, ω : sa vitesse de rotation)

Cette formule est une approximation : lâchée sans vitesse, la roue plonge d'abord un peu, et son axe dessine des petites vagues, les festons de nutation. Le calcul complet (intégration numérique des équations du solide) est confronté à la formule ci-dessous. Roue de 2 kg et de rayon 30 cm, masse sur la jante (I3 = m R² = 0,18 kg·m²).

La roue sur son pivot. En rouge : le moment cinétique L. En vert : le poids. En violet : le couple M. En orange : la trace du centre de la roue. Faites glisser pour tourner la vue.
Inclinaison de l'axe sous l'horizontale au cours du temps. En bleu : le calcul complet ; en vert pointillé : le creux moyen prévu par l'approximation des toupies rapides.
précession mesurée Ω (sur festons entiers)—
formule m g d / (I₃ ω) et rapport mesure / formule—
nutation : fréquence mesurée et prévision I₃ ω / I₁—
plongée maximale de l'axe : mesurée et prévue 2 I₁ m g d / (I₃ ω)²—
temps pour un tour de précession—
dérive relative de l'énergie—
Ce qu'il faut voir. Doublez la vitesse de rotation : la précession est deux fois plus lente et la plongée quatre fois plus petite (elle varie en 1/ω²). À 4 tr/s, le calcul complet et la formule simple diffèrent déjà de moins de 1 % ; à faible vitesse, la formule ne vaut plus rien, et à 0 tr/s la roue tombe. Éloigner la roue du pivot augmente le couple, donc accélère la précession.
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Le couple fait tourner L au lieu de l'abattre

Un gyroscope est tenu en son centre de gravité : la pesanteur ne l'influence plus. On appuie vers le bas sur le bout de l'axe. Au lieu de s'incliner, l'axe part… sur le côté, puis s'arrête dès qu'on cesse d'appuyer.

La poussée crée un couple horizontal M de valeur F b (force × bras de levier b = 15 cm). Pendant la durée τ de la poussée, il ajoute à L l'impulsion angulaire J = M τ, perpendiculaire à L. Le nouveau moment cinétique fait un angle arctan(J/L) avec l'ancien, et l'axe le suit. Mais il ne s'aligne pas parfaitement : il tourne ensuite autour de L sur un petit cône, à la vitesse L/I1 (I1 : moment d'inertie autour d'un axe transversal, ici 0,020 kg·m², et I3 = 0,005 kg·m²). Un petit calcul prévoit le demi-angle de ce cône :

angle résiduel ≈ (2 I1 M / L²) · |sin(L τ / 2I1)|

Le gyroscope. En orange : la poussée. En rouge : L. En gris pointillé : ce que ferait le même objet sans rotation, qui bascule et ne s'arrête plus.
La direction de l'axe comme sur une carte, en degrés : cap horizontal en abscisse, hauteur en ordonnée. Points rouges : la direction de L avant et après ; en violet : la rotation due à l'impulsion J ; en bleu : la trace de l'axe, qui tourne en cercle autour de la nouvelle direction de L ; en gris : l'axe sans rotation, qui plonge.
L = I₃ ω et impulsion J = F b τ—
rotation de L : mesurée et prévue arctan(J/L)—
angle entre l'axe et L après la poussée (min – max)—
angle résiduel prévu (formule ci-dessus)—
rotation de l'axe autour de L : mesurée et L/I₁—
sans rotation : vitesse de bascule J/I₁ acquise—
Deux surprises. D'abord, l'axe se déplace à angle droit de la poussée, et s'arrête avec elle : un gyroscope n'a pas d'élan transversal, il obéit au couple, pas à la force. Ensuite, avec 10 tr/s et 1 N, essayez τ = 0,40 s : la poussée dure alors un tour du cône (2π I1/L = 0,40 s), et l'axe s'arrête presque net, avec un cône résiduel de 0,1° seulement, contre 2,4° pour τ = 0,30 s. Enfin, plus la force est faible, plus ce tremblement est petit : pousser doucement, c'est guider l'axe sans le secouer. La formule approchée perd de sa précision quand l'impulsion J n'est plus petite devant L.
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Précession et nutation de la toupie pesante

Une toupie penchée sur sa pointe cumule les trois mouvements : rotation propre rapide, précession lente autour de la verticale, nutation qui fait monter et descendre l'axe. Selon la façon dont on la lance, le bout de l'axe dessine des festons, des vagues ou des boucles. Le menu « lancement » règle cet élan initial, c'est-à-dire la vitesse de précession φ̇₀ donnée au départ.

Ce problème, résolu par Lagrange en 1788, a une solution exacte. Deux quantités sont conservées en plus de l'énergie : la composante verticale Lz du moment cinétique (le poids est vertical, son couple est horizontal) et la composante L3 le long de l'axe (par symétrie). En posant u = cos θ, tout se ramène à une seule équation :

(du/dt)² = f(u),  avec f polynôme du troisième degré

L'axe oscille entre deux racines u1 et u2 de f : ce sont les deux cercles verts ci-dessous. La période de nutation est une intégrale elliptique, calculée ici par la moyenne arithmético-géométrique. La page compare ces valeurs exactes au calcul numérique pas à pas. Toupie de 200 g, disque de rayon 4 cm, centre de gravité à 4 cm de la pointe.

La toupie et la trace du bout de son axe (orange). En rouge : L. Faites glisser pour tourner la vue.
Vu de dessus : la trace du bout de l'axe. Cercles verts pointillés : les inclinaisons extrêmes prévues par les racines du polynôme.
inclinaisons extrêmes : mesurées—
inclinaisons extrêmes : racines du polynôme—
période de nutation : mesurée / exacte (AGM)—
précession moyenne : mesurée / exacte (intégrale)—
approximation m g d / (I₃ ω₃) et vitesse de lancement φ̇₀—
dérives relatives : énergie, Lz, L₃—
Ce qu'il faut voir. Lâchée sans vitesse, la toupie commence par tomber : l'axe s'arrête en haut de chaque feston, en pointe (le point de rebroussement). Lancée avec la vitesse de précession exacte, elle ne hoche plus la tête : les deux cercles verts se confondent. Plus la rotation propre est rapide, plus les festons sont petits et serrés, et plus la précession moyenne se rapproche de la formule simple de la planche 1.
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La toupie dormante : quand tient-elle debout ?

Une toupie bien lancée se tient parfaitement droite et semble immobile : on dit qu'elle dort. Quand le frottement la ralentit, elle finit par se réveiller, vaciller, puis tomber. Le seuil est net.

Écartons l'axe d'un petit angle θ0 de la verticale. La solution exacte de la planche 3 donne l'inclinaison maximale atteinte ensuite. Quand θ0 tend vers 0, elle reste nulle si la rotation dépasse une vitesse critique, et devient grande en dessous :

ω > ωc = 2 √(I1 m g d) / I3   (critère de stabilité de la toupie dormante)

Pour notre toupie (I1 = 4,0·10⁻⁴ kg·m² autour de la pointe, I3 = 1,6·10⁻⁴ kg·m²), le seuil vaut —.

La toupie écartée de θ₀. En orange : la trace du bout de l'axe. La simulation s'arrête si la toupie touche la table (inclinaison de 75°).
Inclinaison maximale en fonction de la rotation. Courbe verte : formule exacte ; points bleus : simulations complètes ; trait rouge : la vitesse critique ωc ; point orange : l'état actuel.
vitesse critique ωc—
rotation actuelle ω₃—
inclinaison maximale : formule exacte—
inclinaison maximale : mesurée—
avec frottement : rotation au moment où l'inclinaison dépasse 15°—
accord des points simulés avec la formule (écart max)—
Ce qu'il faut voir. Au-dessus de ωc, l'inclinaison reste de l'ordre de θ₀ : la toupie dort. Juste en dessous, elle grimpe brusquement : la courbe verte fait une falaise. Avec le frottement, la toupie se réveille un peu en dessous de ωc, car il lui faut le temps de s'écarter. C'est ce que chacun a vu : la toupie ronronne, droite, puis se met à tanguer d'un coup et se couche.
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Les équations d'Euler, la Terre et le gyroscope de Foucault

Dans le repère lié au solide, les axes principaux ont des moments d'inertie fixes I1, I2, I3. Euler a écrit en 1765 la loi dL/dt = M dans ce repère tournant. Pour un solide libre (M = 0), elles s'écrivent :

I₁ dω₁/dt = (I₂ − I₃) ω₂ ω₃
I₂ dω₂/dt = (I₃ − I₁) ω₃ ω₁
I₃ dω₃/dt = (I₁ − I₂) ω₁ ω₂

Les termes de droite viennent de la rotation du repère lui-même : même sans couple, la vitesse de rotation vue du solide change. Trois expériences en montrent les conséquences.

Deux grandeurs se conservent : l'énergie E et la longueur de L. Vu depuis le solide, le bout de L reste donc sur une sphère et sur un ellipsoïde d'énergie : il parcourt leur intersection, une courbe appelée polhodie (Poinsot, 1834). Autour des axes 1 et 3, les polhodies sont de petites boucles fermées : rotation stable. Autour de l'axe intermédiaire 2, elles s'écartent le long des deux courbes rouges, les séparatrices : c'est l'effet raquette vu sur la page précédente. La solution exacte s'écrit avec les fonctions elliptiques de Jacobi ; sa période est confrontée à la mesure. Boîte de 20 × 12 × 4 cm et 1 kg.

Vu depuis le solide : la sphère de L et ses polhodies (gris). En rouge : les séparatrices ; en bleu : la polhodie parcourue ; axes 1, 2, 3 en couleur. Faites glisser pour tourner la vue.
Vu depuis le laboratoire : la boîte tourne, L (rouge) reste fixe. Les faces sont colorées selon l'axe qu'elles coupent (1 bleu, 2 rouge, 3 vert).
Les trois composantes ω₁ (bleu), ω₂ (rouge), ω₃ (vert) de la vitesse de rotation vues depuis le solide, sur les dix dernières secondes.
moments principaux I₁ ; I₂ ; I₃ (kg·m²)—
L²/(2E) : entre I₁ et I₂ ou entre I₂ et I₃ ?—
période de la polhodie : mesurée—
période exacte 4 K(k) / p (Jacobi) et module k²—
dérives relatives : énergie, |L|—

La Terre tourne sur elle-même et n'est pas une sphère : elle est renflée à l'équateur (21 km de plus que le rayon polaire). Le Soleil et la Lune attirent davantage la moitié du bourrelet la plus proche, ce qui crée un couple qui voudrait redresser l'axe terrestre. Comme pour la toupie, l'axe ne se redresse pas : il précessionne, en sens inverse de la rotation, et fait le tour d'un cône de 23,44° de demi-angle. C'est la précession des équinoxes, découverte par Hipparque et expliquée par d'Alembert en 1749. Le calcul moyen donne :

Ω = (3/2) · (C − A)/C · cos ε / ω · [n☉² + μ n☾²]

avec (C − A)/C = 0,0032737 l'aplatissement dynamique, ε l'inclinaison de l'axe, ω la rotation terrestre, n les vitesses orbitales du Soleil et de la Lune, et μ = 1/82,3 la part de la Lune dans la masse du couple Terre–Lune (petites corrections d'excentricité et d'inclinaison de l'orbite lunaire incluses).

La Terre et son axe (rouge), qui décrit le cône de précession (pointillé orange). Le pôle céleste passe de l'étoile Polaire à Véga en une demi-période environ. Faites glisser pour tourner la vue.
part du Soleil / part de la Lune—
précession calculée—
valeur observée (lunisolaire) et écart—
période du cône de précession—
nutation libre d'Euler A/(C − A) et oscillation de Chandler observée—
date du film—

En 1852, Léon Foucault monte une roue très rapide dans des cardans (anneaux emboîtés qui la laissent libre de s'orienter dans toutes les directions). Aucun couple n'agit sur elle : son axe reste fixe par rapport aux étoiles. Mais la Terre tourne dessous. Vu du laboratoire, l'axe semble donc dériver lentement, et il fait le tour du pôle céleste en un jour sidéral (23 h 56 min 4 s). Foucault baptise l'appareil gyroscope, « ce qui fait voir la rotation ». Au départ, l'axe horizontal tourne autour de la verticale à la vitesse

Ωvert = ΩTerre · sin λ   (λ : latitude ; ΩTerre = 15,04° par heure)

Le gyroscope au centre d'une demi-sphère céleste locale (N, E, S, O à l'horizon ; cap 0° = nord, 90° = est). En bleu : la trace du bout de l'axe ; en rouge : l'axe du monde, qui pointe vers le pôle céleste à la hauteur λ. Faites glisser pour tourner la vue.
heure du film—
dérive du cap dans la première heure : mesurée—
vitesse de départ prévue 15,04° × sin λ par heure—
angle entre l'axe et l'axe du monde (min – max)—
retour au point de départ : mesuré—
L'idée forte. Un même mécanisme — un moment cinétique qui ne change que sous l'effet d'un couple — explique la roue de vélo, la toupie qui dort, l'axe de la Terre qui fait le tour du ciel en 25 800 ans et l'axe du gyroscope qui reste pointé vers les étoiles. Les équations d'Euler en sont l'écriture complète, vue depuis le solide qui tourne.

Où rencontre-t-on ces phénomènes ?

Le gyrocompas

Un gyroscope dont on freine le mouvement vertical finit par aligner son axe sur le méridien : il indique le nord géographique, sans aimant. Tous les grands navires en sont équipés depuis Anschütz-Kaempfe (1908) et Sperry (1911).

La navigation inertielle

Avions, fusées et sous-marins mesurent leurs rotations par des gyroscopes (autrefois mécaniques, aujourd'hui à fibre optique ou à laser), et en déduisent leur orientation sans aucun signal extérieur. Les téléphones portables en contiennent des versions miniatures gravées dans le silicium.

Orienter un satellite

Dans l'espace, pas d'appui. Un satellite tourne en accélérant une roue interne dans l'autre sens : le moment cinétique total reste nul. La Station spatiale internationale utilise des gyroscopes de commande dont on fait basculer l'axe : le couple de la planche 2, utilisé à l'envers.

Les projectiles qui tournent

Les rayures d'un canon font tourner la balle, le quarterback lance son ballon en vrille, le frisbee tourne sur lui-même : la rotation stabilise l'axe, qui ne bascule plus sous les petits couples de l'air mais précessionne lentement.

Le vélo et la moto

Quand un deux-roues penche, le couple gyroscopique des roues tend à tourner la roue avant du côté de la chute, ce qui aide à se rattraper. Ce n'est qu'un des effets en jeu : la géométrie de la fourche compte au moins autant.

Mesurer l'espace-temps

Gravity Probe B (2004–2011) a placé en orbite quatre gyroscopes à sphères de quartz presque parfaites. La relativité générale prédit que leurs axes dérivent de 6 606 millièmes de seconde d'arc par an ; la mission a mesuré 6 602 ± 18.

Une brève histoire de la toupie savante

vers −130Hipparque, comparant ses positions d'étoiles à des mesures plus anciennes, découvre la précession des équinoxes.
1749D'Alembert explique la précession par l'action du Soleil et de la Lune sur le renflement équatorial.
1765Euler publie sa théorie du mouvement des solides : axes principaux d'inertie et équations dans le repère lié au corps. Il prévoit une oscillation libre de l'axe terrestre.
1788Lagrange résout, dans sa Mécanique analytique, le cas de la toupie symétrique pesante.
1834Poinsot donne l'image géométrique du mouvement libre : l'ellipsoïde d'inertie qui roule sans glisser, et les polhodies.
1852Foucault construit le gyroscope et rend visible la rotation de la Terre, un an après son pendule.
1888Sofia Kovalevskaïa découvre un nouveau cas de toupie résoluble exactement et reçoit le prix Bordin.
1891Chandler observe une oscillation du pôle de 14 mois environ : c'est la nutation libre d'Euler, allongée par l'élasticité de la Terre.
1897–1910Klein et Sommerfeld publient les quatre volumes de leur théorie de la toupie.
1908Anschütz-Kaempfe met au point le gyrocompas.
2011Gravity Probe B confirme par des gyroscopes en orbite deux effets de la relativité générale.

En résumé

Une loi vectorielle

dL/dt = M. Un couple perpendiculaire à L ne l'allonge pas, il le fait tourner : c'est la précession, de vitesse Ω ≈ M/L. Plus la rotation est rapide, plus la précession est lente.

La toupie pesante

Lz et L₃ se conservent, l'inclinaison oscille entre deux racines d'un polynôme du troisième degré : festons, vagues ou boucles selon le lancement. Au-dessus de ωc, la toupie dort debout.

Les équations d'Euler

Écrites dans le repère du solide, elles expliquent la rotation libre : stable autour des axes extrêmes, instable autour de l'axe intermédiaire. La Terre, elle, précessionne en 25 800 ans sous le couple du Soleil et de la Lune.

Pour aller plus loin

Les trois cas intégrables. Le mouvement d'un solide autour d'un point fixe n'a de solution exacte que dans trois cas « génériques » : le solide libre (Euler), la toupie symétrique pesante (Lagrange) et la toupie de Kovalevskaïa (moments d'inertie 2, 2, 1 et centre de gravité dans le plan équatorial). Tous les autres cas sont en général chaotiques.

La toupie qui se retourne. La toupie de Thomson (ou « tippe-top »), une boule tronquée munie d'une tige, se retourne sur sa tige quand on la lance : c'est le frottement sur la table qui fait basculer L. Son explication a occupé Bohr et Pauli, photographiés en train de la faire tourner.

La vraie nutation terrestre. En plus de la nutation libre (oscillation de Chandler, environ 433 jours), l'axe terrestre subit une nutation forcée de 18,6 ans et de 9,2″ d'amplitude, due au lent tour du plan de l'orbite lunaire. Elle a été découverte par Bradley en 1748.

Lectures. L. Landau et E. Lifchitz, Mécanique, chapitre VI (le mouvement du corps solide) ; H. Goldstein, Mécanique classique, chapitre 5.