Mécanique

La dynamique du solide

Un solide n'est pas un point : il a une forme, sa masse est répartie, il peut tourner. Deux grandeurs suffisent à dire l'essentiel — le centre de gravité pour le déplacement d'ensemble, le moment d'inertie pour la rotation. Cinq planches pour les voir à l'œuvre, puis des exemples d'application.

L'idée : un déplacement plus une rotation

Un solide (au sens de la mécanique) est un corps dont les points gardent entre eux des distances fixes : il ne se déforme pas. Son mouvement, aussi compliqué qu'il paraisse, se décompose toujours en deux mouvements simples.

D'abord, son centre de gravité G (ou centre de masse) se déplace exactement comme un point matériel qui porterait toute la masse et subirait toutes les forces. Ensuite, le solide tourne autour de G. Regardez ce marteau lancé en l'air : son bout de manche décrit une courbe tourmentée, mais G suit une parabole parfaite, comme une simple balle.

Marteau lancé (vue stroboscopique). En rouge : la trajectoire de G, une parabole. En gris : le bout du manche. En orange : la tête.

Pour la rotation, chaque notion de la translation a son équivalent. Ce tableau est le fil conducteur de la page :

Translation (déplacement)	Rotation autour d'un axe	Ce que cela veut dire
position x	angle θ	où en est le mouvement
vitesse v	vitesse angulaire ω (rad/s)	à quelle allure
masse m	moment d'inertie I = Σ m r²	la résistance à se mettre en mouvement
force F	couple (moment d'une force) C = F × bras de levier	la cause du mouvement
F = m a	C = I α (α : accélération angulaire)	la loi fondamentale
quantité de mouvement p = m v	moment cinétique L = I ω	ce qui se conserve sans action extérieure
énergie ½ m v²	énergie ½ I ω²	l'énergie du mouvement

À retenir. La masse dit combien il est difficile de pousser un corps ; le moment d'inertie dit combien il est difficile de le faire tourner. Deux objets de même masse peuvent avoir des moments d'inertie très différents : tout dépend de l'éloignement de la matière à l'axe.

Où se trouve le centre de gravité ?

Le centre de gravité G est le point où l'on peut considérer que tout le poids s'applique. Pour une plaque homogène, c'est la moyenne des positions de ses morceaux, chacun pondéré par son aire.

x_G = (A₁x₁ + A₂x₂ + A₃x₃) / (A₁ + A₂ + A₃) et de même pour y_G

L'équerre est découpée en deux rectangles de centres G₁ et G₂ ; le trou compte comme un morceau d'aire négative (centre G₃). Cliquez ensuite sur la plaque pour y planter une épingle P : elle se balance puis s'immobilise quand G passe exactement sous l'épingle. Le résultat de la formule est contrôlé par un quadrillage de la plaque en cases de 0,5 mm de côté (jusqu'à 640 000 cases).

La plaque à plat, cotes en centimètres. Cliquez (ou touchez) un point de la plaque pour y placer l'épingle P.

La plaque suspendue en P. En pointillé gris : la verticale passant par l'épingle (le fil à plomb).

Largeur W Hauteur H Épaisseur e Rayon du trou

G par la formule des morceaux—

G par le quadrillage (cases de 0,5 mm)—

écart entre les deux méthodes—

G dans la matière ?—

moment d'inertie I_G : formules / quadrillage—

distance PG et rotation prévue au repos—

écart actuel de PG à la verticale—

période des petites oscillations—

Ce qu'il faut voir. Le centre de gravité n'est pas forcément dans la matière : pour une équerre fine, G tombe dans le coin vide. Le trou, compté comme une aire négative, repousse G vers le côté opposé. Et quelle que soit l'épingle, la plaque s'arrête quand PG est vertical : c'est la méthode du fil à plomb — suspendre par deux points différents, tracer les deux verticales, leur croisement donne G.

Même masse, même couple : pourquoi l'un tourne-t-il plus vite ?

Le moment d'inertie I mesure la résistance d'un corps à la mise en rotation. Il additionne chaque petite masse multipliée par le carré de sa distance à l'axe : la matière éloignée compte beaucoup plus que la matière proche.

I = Σ m_i r_i² C = I α I_axe = I_G + M d² (théorème de Huygens)

Deux rotors vus de dessus, identiques en masse (une tige de 200 g et deux masselottes de 300 g) ; seule la position des masselottes diffère. Le même couple C leur est appliqué. Le curseur d décale l'axe par rapport au centre de gravité G. Chaque moment d'inertie est calculé deux fois : par la formule de Huygens, et par une somme directe sur 2000 tranches de tige et les petits carrés des masselottes.

À gauche le rotor A, à droite le rotor B. Point noir : l'axe ; point rouge : le centre de gravité G, qui tourne autour de l'axe dès que d n'est pas nul.

Masselottes de A à Masselottes de B à Décalage de l'axe d Couple C

Le moment d'inertie en fonction du décalage d de l'axe : deux paraboles, dont le sommet est I_G (axe passant par G). Bleu : rotor A ; orange : rotor B.

rotor A : I_G et I autour de l'axe—

rotor B : I_G et I autour de l'axe—

Huygens contre somme directe (écart relatif max)—

tige seule : (1 − Σ/(mL²/12)) × N²—

accélérations angulaires α = C/I—

tours effectués (A / B) et temps—

rapport des angles θ_A/θ_B et I_B/I_A—

Ce qu'il faut voir. Pour tourner, ce n'est pas la masse qui compte mais sa distance à l'axe, au carré : écarter les masselottes de 6 à 24 cm multiplie le moment d'inertie et divise d'autant la vitesse de rotation obtenue. La somme sur les tranches de tige s'écarte de mL²/12 d'exactement 1/N² en valeur relative — c'est l'erreur connue de la méthode des milieux. Enfin, déplacer l'axe loin de G coûte toujours M d² de plus : un axe qui passe par G donne le moment d'inertie le plus petit.

La course des roulants : qui arrive en bas le premier ?

Une boule, un disque, une sphère creuse et un cerceau dévalent la même pente. Ils ont la même masse et le même rayon, et pourtant ils n'arrivent pas ensemble : l'énergie gagnée en descendant se partage entre l'avancement et la rotation.

m g h = ½ m v² + ½ I ω² avec ω = v/R et I = k m R² ⇒ a = g sin θ / (1 + k)

Le nombre k = I/(mR²) résume la répartition de la masse : 2/5 pour une boule pleine, 1/2 pour un disque, 2/3 pour une sphère creuse, 1 pour un cerceau dont toute la masse est à la périphérie. Le frottement μ entre le corps et la pente sert à le faire tourner ; il faut au moins μ_min = k tan θ / (1 + k), sinon le corps glisse en roulant. Un bloc glissant sans aucun frottement sert de référence.

Cinq couloirs parallèles sur la même pente de 2 m (tailles des corps non à l'échelle). Le rayon marqué sur chaque corps montre sa rotation ; un corps qui glisse tourne trop lentement pour son avance.

Pente θ Frottement μ Rayon des corps

ordre d'arrivée—

bilan d'énergie refermé à (écart relatif max)—

temps simulé contre formule (écart max)—

Ce qu'il faut voir. La course ne dépend ni de la masse ni du rayon (changez-le : les temps ne bougent pas), seulement de k. Plus k est grand, plus l'énergie part dans la rotation — la moitié pour le cerceau — et moins il en reste pour avancer. Tant que le corps roule sans glisser, le frottement ne dissipe rien. Baissez μ sous μ_min : le corps glisse, perd de l'énergie en chaleur… et pourtant arrive plus tôt, parce qu'il en met moins dans la rotation.

Le pendule pesant : où faut-il accrocher une tige ?

Une tige qui oscille autour d'un axe est un pendule pesant (ou pendule composé). Elle se comporte exactement comme un pendule simple d'une certaine longueur l, dite longueur équivalente.

T = 2π √( I_axe / (m g d) ) = 2π √( l / g ) avec l = d + k²/d et k = L/√12

Ici d est la distance de l'axe au centre de gravité et k le rayon de giration, défini par I_G = m k² : la distance à laquelle il faudrait concentrer toute la masse pour obtenir le même moment d'inertie. La période mesurée sur la simulation (Runge-Kutta d'ordre 4) est comparée à la formule exacte pour les grandes amplitudes, calculée par la moyenne arithmético-géométrique.

À gauche la tige (G en rouge, point O′ en orange) ; à droite le pendule simple de longueur l. Ils oscillent parfaitement ensemble : le tireté relie O′ à la masse du pendule simple.

Période des petites oscillations selon la position de l'axe. Bleu : réglage actuel ; orange : le point conjugué d′ = k²/d, de même période ; vert : le minimum, atteint pour d = k.

Longueur L Axe à d = Amplitude

rayon de giration k et longueur équivalente l—

période mesurée (simulation)—

période exacte (moyenne arithmético-géométrique)—

écart relatif—

période des petites oscillations 2π√(l/g)—

axe conjugué d′ = k²/d (même période)—

g retrouvé par la méthode de Kater—

Ce qu'il faut voir. Accrocher la tige tout près de G ne la rend pas « immobile » mais très lente : la période devient infinie quand d tend vers 0. La période la plus courte est obtenue pour d = k. Chaque période est atteinte pour deux positions d et d′ = k²/d, dont la somme vaut justement l : c'est le principe du pendule réversible de Kater (1817), qui mesure g avec deux couteaux sans connaître ni G ni le moment d'inertie. Le point O′, à la distance l de l'axe, est aussi le centre de percussion : un choc reçu là ne secoue pas l'axe.

Le moment cinétique : ce qui tourne veut continuer à tourner

Sans couple extérieur, le moment cinétique L = I ω d'un solide se conserve, en valeur et en direction. Trois expériences en tirent des conséquences surprenantes : la patineuse qui accélère sans rien pousser, la toupie qui ne tombe pas, et l'objet qui se retourne tout seul dans l'espace.

Vue de dessus : un corps (1,2 kg·m²) et deux bras portant chacun 2,5 kg. En rentrant les bras, la patineuse diminue son moment d'inertie ; comme L = I ω ne change pas, ω augmente. L'équation du mouvement est intégrée pas à pas, sans utiliser la conservation — celle-ci est donc une vérification.

I₁ ω₁ = I₂ ω₂ E = ½ I ω² = ½ L ω

À gauche la patineuse vue de dessus ; à droite, sur les douze dernières secondes : ω/ω₀ (bleu), E/E₀ (orange, tireté) et I/I₀ (violet).

Bras tendus à Bras rentrés à

vitesse de rotation—

moment d'inertie—

dérive de L = I ω (relative)—

énergie E/E₀ et prévision I₀/I—

travail des bras contre ΔE (écart relatif)—

Ce qu'il faut voir. La vitesse de rotation est multipliée exactement par le rapport des moments d'inertie. L'énergie de rotation, elle, augmente dans le même rapport : elle ne vient pas de nulle part, c'est le travail des muscles qui tirent les bras vers l'axe contre la tendance des mains à s'échapper. La courbe orange se superpose à la bleue, car E = ½ L ω avec L constant.

Une toupie (disque de 200 g, rayon 4 cm, à 4 cm de la pointe) est lâchée inclinée, en tournant vite sur elle-même. Le poids crée un couple horizontal : au lieu de faire tomber la toupie, il fait tourner lentement son axe autour de la verticale. C'est la précession. Le mouvement complet est intégré en trois dimensions (matrice d'orientation et moment cinétique, Runge-Kutta d'ordre 4).

dL/dt = C ⇒ Ω ≈ m g d / (I₃ ω₃) (toupie rapide)

Faites glisser pour tourner la vue. En orange : la trace du bout de l'axe ; ses festons sont la nutation, un petit hochement qui accompagne la précession. Flèche rouge : le moment cinétique L.

Rotation propre ω₃ Inclinaison Lecture

précession mesurée Ω—

formule m g d / (I₃ ω₃)—

rapport mesure / formule—

dérives relatives : énergie, L_z, L·axe—

temps simulé—

Ce qu'il faut voir. Le couple du poids ne fait pas basculer l'axe : il fait pivoter le moment cinétique, perpendiculairement à lui-même, donc l'axe tourne en rond. Plus la toupie tourne vite, plus la précession est lente et plus la formule simple est juste : le rapport mesuré (moyenné sur des festons entiers) vaut 0,75 à 40 rad/s, 1,05 à 150 rad/s et 1,007 à 400 rad/s ; à faible vitesse la nutation devient ample et la formule n'est plus qu'une approximation. Trois quantités restent constantes — l'énergie, la composante verticale de L et la composante de L le long de l'axe — et leur dérive mesure la qualité du calcul. C'est le principe du gyroscope, des gyrocompas et de la stabilité d'une roue de vélo lancée.

Un pavé de 30 × 16 × 5 cm flotte dans l'espace, sans aucune force. Il a trois axes principaux, de moments d'inertie I₁ < I₂ < I₃. Lancez-le autour de l'un d'eux avec une infime imperfection ε : autour de l'axe du plus petit ou du plus grand moment, il tourne sagement ; autour de l'axe intermédiaire, il se retourne périodiquement. C'est l'effet Djanibekov, du nom du cosmonaute qui l'a filmé en 1985 avec un écrou papillon.

I₁ dω₁/dt = (I₂ − I₃) ω₂ω₃ (et permutations) λ = ω √( (I₂ − I₁)(I₃ − I₂) / (I₁ I₃) )

Faites glisser pour tourner la vue. Flèche rouge : le moment cinétique L, fixe dans l'espace. Flèche bleue : la vitesse angulaire ω. Faces bleues : axe 1 ; rouges : axe 2 ; vertes : axe 3.

Axe de lancement Vitesse Imperfection ε

moments principaux I₁ ; I₂ ; I₃ (kg·m²)—

taux de croissance λ prévu—

taux λ mesuré (pente de ln |perturbation|)—

retournements et intervalle entre deux—

écart maximal de l'axe de lancement à L—

dérives relatives : énergie, |L|—

Ce qu'il faut voir. Autour de l'axe intermédiaire, la petite imperfection grandit comme e^λt — la pente mesurée retrouve la formule — puis l'objet se retourne d'un demi-tour et recommence, à intervalles réguliers qui ne s'allongent que lentement, comme un logarithme, quand ε diminue : 4,04 s pour ε = 10⁻³, 6,26 s pour ε = 10⁻⁶ (à 1 tour par seconde). Autour des deux autres axes, l'écart reste minuscule (0,31° et 0,07° pour ε = 10⁻³). Leçon pratique : un satellite stabilisé par rotation doit tourner autour de son axe de plus grand moment d'inertie ; Explorer 1 (1958), lancé autour de son axe le plus petit, a fini en « vrille à plat » car ses antennes souples dissipaient de l'énergie.

Exemples d'application

Les mêmes formules servent partout où quelque chose tourne, bascule ou se lance. Chaque carte fait le calcul en direct.

Le volant d'inertie

Une roue lourde qui tourne vite stocke de l'énergie E = ½ I ω² (disque plein : I = ½ M R²). On l'utilise pour lisser un moteur, alimenter un réseau pendant une coupure, récupérer le freinage d'un tram.

Masse Rayon Vitesse

énergie stockée—

vitesse à la jante—

Le basculement d'un véhicule

Un véhicule bascule dans un virage quand la résultante du poids et de la force centrifuge sort de la base entre les roues. Seuil : a/g = e/(2h), avec e la voie et h la hauteur du centre de gravité.

Voie e Hauteur de G

seuil e/(2h) et angle de basculement statique—

vitesse de basculement, virage de 50 m—

avec des pneus d'adhérence μ ≈ 0,9—

La batte et le centre de percussion

Une batte tenue par les mains est un pendule pesant : si la balle frappe au centre de percussion, à la distance l = d + k²/d des mains, aucun choc ne remonte dans les poignets.

Longueur Mains à

point idéal, compté depuis le bout du manche—

soit, en fraction de la longueur—

Modèle de tige homogène ; une vraie batte, plus lourde au bout, a son point idéal un peu plus loin.

Le yo-yo

Le yo-yo est un disque qui roule sur sa ficelle enroulée autour d'un axe fin. Son k effectif vaut R²/(2r²) : avec un axe fin, il descend lentement et tourne très vite.

Rayon de l'axe r

accélération de descente (disque R = 3 cm)—

tension du fil / poids—

après 1 m de descente—

Le plongeon et le salto

En l'air, aucun couple : le moment cinétique pris au départ est conservé. En se groupant, le plongeur divise son moment d'inertie, donc multiplie sa vitesse de rotation.

Rapport I_tendu/I_groupé Tours s'il restait tendu

durée de chute depuis 10 m—

tours possibles en restant groupé—

La grue à tour et son contrepoids

La grue ne bascule pas tant que le centre de gravité de l'ensemble reste au-dessus de sa base (ici 4 m de large, grue de 20 t, contrepoids à 12 m de l'axe). Trop peu de contrepoids : elle bascule vers la charge ; trop : elle bascule en arrière quand elle est à vide.

Charge à la distance

contrepoids admissible—

verdict—

charge maximale à cette distance—

Une brève histoire

vers −250Archimède, dans De l'équilibre des plans, définit le centre de gravité et le calcule pour le triangle et le parallélogramme, en découpant les figures comme on l'a fait en planche 1.

1673Christiaan Huygens, Horologium oscillatorium : théorie du pendule composé, centre d'oscillation, et la règle qui deviendra le théorème de transport I = I_G + M d².

1765Leonhard Euler, Theoria motus corporum solidorum : moment d'inertie, axes principaux, et les équations de rotation qui portent son nom.

1817Henry Kater construit le pendule réversible à deux couteaux et mesure g à Londres avec une précision inédite.

1834Louis Poinsot, Théorie nouvelle de la rotation des corps : une image géométrique de la rotation libre (l'ellipsoïde qui roule sans glisser sur un plan).

1852Léon Foucault invente le gyroscope, qui montre la rotation de la Terre sans regarder le ciel.

1958Le satellite Explorer 1 bascule en vrille à plat : première leçon spatiale sur la stabilité de la rotation.

1985Vladimir Djanibekov observe à bord de Saliout 7 un écrou papillon qui se retourne périodiquement.

En résumé

Le centre de gravité résume le déplacement

G bouge comme un point portant toute la masse. C'est une moyenne pondérée des positions ; il peut se trouver hors de la matière. Un objet suspendu s'arrête avec G sous le point d'attache.

Le moment d'inertie résume la rotation

I = Σ m r² : la distance à l'axe compte au carré. Il joue pour la rotation le rôle de la masse (C = I α), est minimal autour de G et grandit de M d² quand on s'en écarte.

Le moment cinétique se conserve

Sans couple, L = I ω reste constant : la patineuse accélère, le plongeur enchaîne les saltos, la toupie précesse, et seule la rotation autour des axes extrêmes est stable.

Pour aller plus loin

En trois dimensions, le moment d'inertie n'est plus un nombre mais un tableau 3 × 3, le tenseur d'inertie : L = J ω, et L n'est en général pas parallèle à ω (la flèche bleue et la flèche rouge de la planche 5 ne coïncident pas). Ce tableau étant symétrique, il possède trois directions privilégiées, les axes principaux d'inertie ; dans ce repère, les équations d'Euler s'écrivent simplement et montrent pourquoi l'axe intermédiaire est instable.

Le théorème de König décompose l'énergie cinétique : E = ½ M v_G² + ½ I_G ω². C'est lui qui fonde la planche 3. Pour les toupies, trois cas se résolvent exactement : la toupie d'Euler (sans couple), celle de Lagrange (symétrique, pesante) et celle de Kovalevskaïa (1888).

Dans la même série : la dynamique du point (forces et lois de Newton), le solide dans le temps et ses dérivées successives, le cube qui se translate, tourne et se déforme, et l'horloge de Huygens avec la cycloïde.