La méthode de Newton pour ax³ + bx² + cx + d = 0
La méthode de Lagrange donne les racines par une formule exacte. Newton, un siècle plus tôt, a proposé autre chose : partir d'une valeur approchée et la corriger, encore et encore, en remplaçant la courbe par sa tangente. Pas de formule, pas de racine cubique, mais une précision qui double à chaque pas. Cinq planches pour voir la méthode travailler, puis pour voir quand elle se trompe.
L'idée en une phrase
Près d'un de ses points, une courbe ressemble beaucoup à sa tangente. Or on sait trouver exactement où une droite coupe l'axe horizontal. Newton remplace donc l'équation f(x) = 0, difficile, par l'équation de la tangente, facile, et recommence à partir du point obtenu.
xn+1 = xn − f(xn) / f′(xn), avec f(x) = ax³ + bx² + cx + d et f′(x) = 3ax² + 2bx + c
Le calcul de f et de f′ se fait par le schéma de Horner, ((ax + b)x + c)x + d : trois multiplications et trois additions, quel que soit x. L'exemple par défaut est celui de Newton lui-même, dans le De analysi de 1669 : y³ − 2y − 5 = 0.
| Méthode de Lagrange (formule) | Méthode de Newton (itération) | |
|---|---|---|
| Ce qu'on obtient | les trois racines d'un coup, exactes en principe | une racine, de plus en plus précise |
| Ce qu'il faut savoir faire | racines carrées et cubiques de nombres complexes | additions, multiplications, une division |
| Degré de l'équation | jusqu'à 4 seulement | n'importe lequel, et même des équations non polynomiales |
| Point faible | perte de chiffres dans certains cas | le choix du point de départ |
Remplacer la courbe par sa tangente
L'idée : au point xn, on monte (ou on descend) jusqu'à la courbe, on trace la tangente, et l'on suit cette tangente jusqu'à l'axe. Le point d'arrivée est xn+1. Comme la tangente de pente f′(xn) doit descendre de f(xn) pour atteindre l'axe, il faut se déplacer de f(xn)/f′(xn).
L'expérience : choisissez l'équation et le point de départ x₀, puis avancez pas à pas. La loupe de droite suit le dernier point : à chaque pas il faut grossir davantage pour distinguer la courbe de sa tangente. Les écarts sont mesurés par rapport aux racines données par la formule exacte de Lagrange, calculée indépendamment.
Les décimales doublent à chaque pas
L'idée : si xn est à la distance en de la racine r, le pas suivant est à une distance proportionnelle au carré de en. Une erreur de 10⁻⁵ devient environ 10⁻¹⁰, puis 10⁻²⁰ : le nombre de décimales exactes double à chaque pas. On dit que la convergence est quadratique.
en+1 ≈ C · en², avec C = |f″(r) / (2 f′(r))|
La machine ne garde que 16 chiffres, ce qui cache le phénomène au bout de trois ou quatre pas. Ici, les calculs sont faits en entiers de précision arbitraire (jusqu'à 300 décimales), et la racine de référence est obtenue par une méthode indépendante : la dichotomie, qui coupe l'intervalle en deux un millier de fois. L'expérience : itérez et regardez les chiffres verts, exacts, envahir le nombre.
Bien choisir le départ : la règle de Fourier
L'idée : la tangente n'est une bonne approximation que près de la racine. Partie d'un point où la courbe est presque horizontale, elle envoie l'itéré très loin, parfois vers une autre racine, parfois dans un cycle sans fin. Fourier (1818) donne une garantie : sur un intervalle [α, β] où f change de signe et où ni f′ ni f″ ne s'annulent, partir de l'extrémité où f et f″ ont le même signe assure une convergence monotone, sans jamais dépasser la racine.
L'expérience : placez α et β ; les trois conditions s'allument en vert ou en rouge. La bande du bas essaie 600 départs différents et colore chacun selon la racine atteinte : les zones de couleurs mêlées sont celles où le départ est dangereux. L'exemple x³ − 2x + 2 contient un piège : parti de 0, Newton tourne indéfiniment entre 0 et 1.
La racine double : la vitesse s'effondre
L'idée : en une racine double, la courbe touche l'axe sans le traverser et f′(r) = 0. La tangente devient presque parallèle à l'axe, et chaque pas ne fait plus que la moitié du chemin : l'erreur est seulement divisée par 2, la convergence devient linéaire. Pour une racine de multiplicité m, elle est multipliée par (m − 1)/m. Si l'on connaît m, le remède est d'allonger le pas : xn+1 = xn − m f(xn)/f′(xn).
L'expérience : l'équation est (x − 1)(x − 1 − ε)(x + 2) = 0. Pour ε = 0, la racine 1 est double. Écartez un peu les deux racines et regardez la méthode hésiter entre les deux comportements.
Newton dans le plan complexe
La même formule marche avec des nombres complexes. Elle permet alors d'atteindre les racines non réelles, mais elle révèle aussi un paysage inattendu, posé par Cayley en 1879 : quels départs mènent à quelle racine ? Trois onglets : ce paysage, la façon d'obtenir les trois racines, et la méthode telle que Newton l'a écrite.
L'idée : chaque point du plan est un départ possible. On le colore selon la racine vers laquelle Newton le conduit, et on l'éclaircit selon le nombre de pas. Les trois bassins d'attraction ne sont pas séparés par des lignes simples : leur frontière est une fractale. Mieux, tout point de la frontière touche les trois bassins à la fois, aussi fort que l'on zoome.
L'idée : une fois une racine r trouvée par Newton, on divise le polynôme par (x − r) avec le schéma de Horner. Il reste un polynôme du second degré, dont les deux racines se calculent par la formule habituelle. C'est la déflation. Les racines obtenues héritent des erreurs de r, d'où une dernière étape : un ou deux pas de Newton sur l'équation d'origine pour les « polir ».
L'idée : Newton ne parle pas de tangente. Pour y³ − 2y − 5 = 0, il pose y = 2 + p, développe, et obtient −1 + 10p + 6p² + p³ = 0. Comme p est petit, il néglige p² et p³ : 10p − 1 = 0, donc p ≈ 0,1. Il recommence avec p = 0,1 + q, puis q = −0,0054 + r. Garder seulement la partie linéaire d'un polynôme, c'est exactement remplacer la courbe par sa tangente : les deux méthodes donnent les mêmes corrections (à la troisième étape, Newton néglige en plus le terme q³, d'où un petit écart avec la tangente).
Histoire et synthèse
La tangente
Remplacer la courbe par sa tangente ramène une équation difficile à une équation du premier degré. On recommence jusqu'à la précision voulue.
Le carré de l'erreur
Près d'une racine simple, l'erreur est élevée au carré à chaque pas : les décimales exactes doublent. Une racine double ramène à une simple division par 2.
Le départ
Loin de la racine, tout peut arriver : saut vers une autre racine, cycle, frontières fractales. On encadre d'abord, puis on laisse Newton conclure.
Pour aller plus loin
Pourquoi l'erreur est élevée au carré. Par la formule de Taylor, 0 = f(r) = f(xn) + f′(xn)(r − xn) + ½f″(ξ)(r − xn)². En divisant par f′(xn) et en réordonnant, on obtient r − xn+1 = −f″(ξ)/(2f′(xn)) · (r − xn)². C'est la constante C de la planche 2.
La même idée ailleurs. La méthode de Héron pour √A est la méthode de Newton appliquée à x² − A = 0. En dimension n, on remplace f′ par la matrice jacobienne et l'on résout un système linéaire à chaque pas. Les calculatrices et les bibliothèques numériques calculent ainsi racines carrées, inverses et bien d'autres fonctions.
Newton et Lagrange. La page sur la méthode de Lagrange pour la même équation donne les trois racines par une formule ; ici, la formule sert de juge. Les deux approches se complètent : la formule dit combien il y a de racines et où les chercher, Newton les calcule vite et précisément, et sert aussi à « polir » les racines d'une formule qui aurait perdu des chiffres.