La méthode de Lagrange pour ax³ + bx² + cx + d = 0
Comment passer des quatre coefficients a, b, c, d aux trois racines, sans recette apprise par cœur : en fabriquant avec les racines deux nombres u et v dont les cubes obéissent à une simple équation du second degré. Cinq planches pour suivre la méthode étape par étape, sur l'équation de votre choix.
La méthode d'un coup d'œil
Lagrange (1770) ne cherche pas une astuce de calcul : il se demande quelles expressions des racines x₁, x₂, x₃ on peut calculer sans les connaître, à partir des seuls coefficients. Ce sont les expressions symétriques, celles qui ne changent pas quand on échange les racines. Tout le travail consiste à trouver des expressions presque symétriques, qui ne prennent que deux valeurs, pour remonter pas à pas jusqu'aux racines.
On note ω = −1/2 + i√3/2 une racine cubique de l'unité : ω³ = 1 et 1 + ω + ω² = 0. Multiplier un nombre complexe par ω le fait tourner de 120° autour de l'origine.
| Étape | Ce que l'on calcule | Formule | Planche |
|---|---|---|---|
| 1 | Les fonctions symétriques élémentaires (Viète) | σ₁ = −b/a, σ₂ = c/a, σ₃ = −d/a | 1 |
| 2 | Les deux résolvantes de Lagrange | u = x₁ + ωx₂ + ω²x₃, v = x₁ + ω²x₂ + ωx₃ | 3 |
| 3 | Leur somme des cubes et leur produit, symétriques | u³ + v³ = 2σ₁³ − 9σ₁σ₂ + 27σ₃, uv = σ₁² − 3σ₂ | 3 |
| 4 | L'équation auxiliaire dont u³ et v³ sont racines | Z² − SZ + P = 0, S = u³ + v³, P = (uv)³ | 4 |
| 5 | Une racine cubique, puis l'autre par le produit | u = ∛Z₁, v = (σ₁² − 3σ₂)/u | 5 |
| 6 | Les trois racines | x₁ = (σ₁ + u + v)/3, x₂ = (σ₁ + ω²u + ωv)/3, x₃ = (σ₁ + ωu + ω²v)/3 | 5 |
L'équation réglée dans la planche 1 est la même dans toute la page : chaque planche la reprend à l'étape suivante.
Ce que disent les coefficients
L'idée : si x₁, x₂, x₃ sont les racines, alors ax³ + bx² + cx + d = a(x − x₁)(x − x₂)(x − x₃). En développant et en identifiant, on obtient les relations de Viète : les coefficients ne donnent pas les racines une par une, mais trois combinaisons symétriques de ces racines.
σ₁ = x₁ + x₂ + x₃ = −b/a, σ₂ = x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = c/a, σ₃ = x₁x₂x₃ = −d/a
Diviser l'équation par a ne change pas ses racines : seules comptent les trois quantités σ₁, σ₂, σ₃. L'expérience : réglez les coefficients ; à gauche, la courbe y = ax³ + bx² + cx + d et, en pointillé orange, la courbe divisée par a, qui coupe l'axe aux mêmes points ; à droite, les trois racines dans le plan complexe, réelles ou non.
Le centre des racines et le point d'inflexion
L'idée : la moyenne des trois racines vaut σ₁/3 = −b/(3a). C'est aussi l'abscisse du point d'inflexion de la courbe, là où f″(x) = 6ax + 2b s'annule. En posant x = y − b/(3a), on place ce centre à l'origine et le terme en x² disparaît : on obtient l'équation réduite y³ + py + q = 0.
p = (3ac − b²)/(3a²), q = (2b³ − 9abc + 27a²d)/(27a³)
Beaucoup de manuels commencent par là. Lagrange, lui, n'en a pas besoin : ses résolvantes (planche 3) absorbent ce décalage toutes seules, car 1 + ω + ω² = 0 fait disparaître la partie commune des racines. L'expérience : faites glisser la courbe jusqu'à amener son point d'inflexion sur l'axe vertical.
Les résolvantes u et v, construites à la règle
L'idée : u = x₁ + ωx₂ + ω²x₃ se construit en mettant bout à bout trois flèches : x₁ telle quelle, x₂ tournée de 120°, x₃ tournée de 240°. Pour v, on tourne dans l'autre sens. Si les trois racines étaient égales, les trois flèches formeraient un triangle fermé et u serait nul : u et v mesurent donc à quel point les racines s'écartent de leur centre.
uv = σ₁² − 3σ₂ et u³ + v³ = 2σ₁³ − 9σ₁σ₂ + 27σ₃
u et v changent quand on permute les racines (ils prennent 6 valeurs), mais leur produit et la somme de leurs cubes ne changent pas : ce sont des expressions symétriques, donc calculables à partir des coefficients. L'expérience : faites tourner progressivement les flèches et comparez, dans les lectures, le calcul par les racines et le calcul par les coefficients.
L'équation auxiliaire du second degré
L'idée : on connaît maintenant la somme S = u³ + v³ et le produit P = u³v³ = (σ₁² − 3σ₂)³. Deux nombres dont on connaît la somme et le produit sont les racines d'une équation du second degré : c'est l'équation auxiliaire (on dit aussi équation résolvante).
Z² − SZ + P = 0, δ = S² − 4P = −27 Δ
Son discriminant δ est, au facteur −27 près, le discriminant Δ de l'équation du 3ᵉ degré divisée par a. D'où un paradoxe célèbre : lorsque les trois racines sont réelles (Δ > 0), δ est négatif et u³, v³ sont des nombres complexes. L'expérience : faites varier d et regardez la parabole Z ↦ Z² − SZ + P décoller de l'axe au moment précis où la cubique acquiert trois racines réelles.
Des cubes aux racines
Dernière montée : extraire des racines cubiques, puis recomposer x₁, x₂, x₃. Trois onglets : la méthode complète déroulée sur votre équation, le piège des neuf couples de racines cubiques, et le cas où trois racines réelles s'obtiennent par des nombres complexes.
L'idée : chaque étape n'utilise que ce qui a été calculé avant, en partant des seuls coefficients. La figure montre l'objet produit à chaque étape ; la dernière compare les racines obtenues à celles de la méthode numérique.
- Normaliser. σ₁ = −b/a, σ₂ = c/a, σ₃ = −d/a.
- Somme et produit. S = 2σ₁³ − 9σ₁σ₂ + 27σ₃ et K = σ₁² − 3σ₂, d'où P = K³.
- Discriminant. δ = S² − 4P.
- Équation auxiliaire. Z₁ et Z₂ = (S ± √δ)/2. Quand δ ⩾ 0, on prend pour Z₁ le signe de S, puis Z₂ = P/Z₁ : on évite ainsi de soustraire deux nombres presque égaux, source de perte de chiffres.
- Racines cubiques. u = ∛Z₁ (racine principale), puis v = K/u (et non ∛Z₂ pris au hasard).
- Recomposer. x₁ = (σ₁ + u + v)/3, x₂ = (σ₁ + ω²u + ωv)/3, x₃ = (σ₁ + ωu + ω²v)/3.
L'idée : Z₁ a trois racines cubiques u₀, u₁ = ωu₀, u₂ = ω²u₀, et Z₂ aussi. Si l'on prenait u et v « au hasard » parmi elles, on formerait neuf couples, donc neuf candidats (σ₁ + u + v)/3. Seuls les trois couples qui respectent uv = σ₁² − 3σ₂ donnent de vraies racines : la condition sur le produit, héritée de la planche 3, trie les candidats.
Chaque case : écart |uv − K|, avec K = σ₁² − 3σ₂, puis résidu |f| = |ax³ + bx² + cx + d| au candidat x = (σ₁ + u + v)/3. Cases vertes : couples valides. Cliquez une case pour la repérer sur la figure.
L'idée : l'équation 4x³ − 3x = k, avec −1 ⩽ k ⩽ 1, a trois racines réelles, connues par la trigonométrie : x = cos((arccos k + 2πj)/3), puisque 4cos³θ − 3cos θ = cos 3θ. La méthode de Lagrange y aboutit aussi, mais en passant par u³ et v³ complexes conjugués de même module 27/8 : u et v sont conjugués, et leur somme u + v retombe sur l'axe réel.
Fiche méthode
| Données | Calcul | Pourquoi c'est possible |
|---|---|---|
| a, b, c, d | σ₁ = −b/a, σ₂ = c/a, σ₃ = −d/a | Relations de Viète |
| σ₁, σ₂, σ₃ | K = σ₁² − 3σ₂, S = 2σ₁³ − 9σ₁σ₂ + 27σ₃ | uv et u³ + v³ sont symétriques |
| S, K | Z² − SZ + K³ = 0, Z₁ = (S + √(S² − 4K³))/2 | u³ ne prend que deux valeurs |
| Z₁, K | u = ∛Z₁, v = K/u (si u = 0, prendre u = ∛Z₂) | Le produit fixe la bonne racine cubique |
| σ₁, u, v | x = (σ₁ + ωᵏu + ω⁻ᵏv)/3, k = 0, 1, 2 | 1 + ω + ω² = 0 |
Exemple de contrôle : pour 2x³ − 3x² − 11x + 6 = 0, σ₁ = 3/2, σ₂ = −11/2, σ₃ = −3, donc K = 9/4 + 33/2 = 75/4 et S = 27/4 + 297/4 − 81 = 0. L'équation auxiliaire est Z² + (75/4)³ = 0 : ses racines sont imaginaires pures, alors que les trois racines cherchées, 3, −2 et 1/2, sont réelles. La planche 5 déroule ce calcul et le vérifie.
Symétrie
Tout ce qui ne dépend pas de l'ordre des racines se lit sur les coefficients. C'est la matière première de la méthode.
Deux valeurs
u³ ne prend que deux valeurs quand on permute les racines : il est donc racine d'une équation du second degré, écrite avec les coefficients.
Le bon couple
Parmi les neuf couples de racines cubiques, la condition uv = σ₁² − 3σ₂ retient les trois qui donnent les vraies racines.
Pour aller plus loin
D'où viennent les formules de la planche 3. Comme 1 + ω + ω² = 0, uv = x₁² + x₂² + x₃² − (x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃) = σ₁² − 3σ₂. Pour u³ + v³, on développe les deux cubes : les termes non symétriques s'annulent deux à deux, et il reste 2(x₁³ + x₂³ + x₃³) − 3(somme des xᵢ²xⱼ) + 12x₁x₂x₃, qui s'écrit 2σ₁³ − 9σ₁σ₂ + 27σ₃.
Le lien avec Cardan. Pour l'équation réduite y³ + py + q = 0 (planche 2), σ₁ = 0, σ₂ = p, σ₃ = −q : on trouve S = −27q et K = −3p. En posant u = 3α et v = 3β, on retrouve α³ + β³ = −q et αβ = −p/3, c'est-à-dire la formule de Cardan (1545). La méthode de Lagrange est la même, mais elle explique pourquoi elle marche.
La suite de l'histoire. Lagrange applique le même raisonnement au 4ᵉ degré, avec l'expression x₁x₂ + x₃x₄ qui ne prend que trois valeurs, puis constate son échec au 5ᵉ degré. C'est le sujet de la page « Lagrange et la résolution algébrique des équations ».