Une seule question — qu'est-ce qui ne change pas quand on déforme sans déchirer ni recoller ? — posée avec cinq boîtes à outils différentes : les voisinages, l'algèbre, le calcul différentiel, la géométrie et les nœuds.
Vue d'ensemble : un arbre à cinq branches
La topologie étudie les propriétés d'un objet qui résistent à toute déformation continue : étirer, tordre, gonfler est permis ; couper et recoller ne l'est pas. Pour savoir si deux objets sont « topologiquement les mêmes », il faut des outils. Chaque branche en a forgé un type : la topologie générale fixe le vocabulaire (qu'est-ce qu'être « proche » ?), les autres branches inventent des invariants, c'est-à-dire des quantités qui ne bougent pas pendant la déformation. Si un invariant diffère entre deux objets, ces objets ne peuvent pas être déformés l'un en l'autre.
Branche
Question typique
Objets
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Générale
Que veut dire « proche », « continu », « d'un seul tenant » ?
Ces branches ne sont pas des compartiments étanches : la planche 5 utilise de l'algèbre linéaire (topologie algébrique) pour répondre à une question de géométrie de l'espace, et la planche 3 retrouve par le calcul différentiel un nombre (la caractéristique d'Euler) que la planche 4 obtient par un pur comptage.
Planche 1
Topologie générale : le langage de la proximité
L'idée : pour parler de continuité, on n'a pas besoin de distances précises, seulement de savoir quels points sont « autour » d'un point donné. Un voisinage de P est un ensemble qui contient une petite boule autour de P. Un ensemble est ouvert s'il est voisinage de chacun de ses points ; il est fermé si son complémentaire est ouvert. Tout le reste — continuité, compacité, connexité — se définit à partir des ouverts.
Touchez ou faites glisser le point P. Bord en trait plein : il appartient à A ; en pointillé : il n'y appartient pas. Près du cercle, P s'aimante exactement sur le bord.
Distance OP—
Position de P—
P appartient à A ?—
Boule B(P, r) incluse dans A ?—
Plus grande boule dans A (formule 1 − OP)—
Même rayon par dichotomie (720 points du bord de la boule)—
Écart entre les deux—
Nature de A—
Ce qu'il faut retenir. À l'intérieur du disque, il reste toujours de la place : une boule de rayon 1 − OP tient entièrement dans A, si près du bord que soit P. Sur le cercle, aucune boule, si petite soit-elle, ne tient dans le disque : un point du bord qui appartient à A empêche A d'être ouvert. À l'extérieur, une boule de rayon OP − 1 évite le disque : le complémentaire du disque fermé est ouvert, c'est la définition même de « fermé ». Le troisième ensemble montre qu'« ouvert » et « fermé » ne sont pas contraires : un ensemble peut n'être ni l'un ni l'autre.
Bande orange : l'intervalle ouvert V sur l'axe vertical. En rouge sur l'axe horizontal : l'image réciproque f⁻¹(V), c'est-à-dire tous les x tels que f(x) tombe dans V. Point plein : extrémité incluse ; rond vide : extrémité exclue. Les « … » signalent un intervalle qui continue hors de la fenêtre.
Ouvert V choisi—
Image réciproque f⁻¹(V)—
f⁻¹(V) est-il ouvert ?—
Contrôle : points de f⁻¹(V) dont les voisins à 10⁻⁹ sortent—
f continue ⟺ pour tout ouvert V, f⁻¹(V) est ouvert
Pourquoi cette définition ? Elle dit la même chose que « ε-δ » sans jamais mesurer : si f(x) est dans V, les voisins de x doivent encore arriver dans V. Avec la fonction sauteuse, placez V autour de 1,5 sans contenir 0,5 (réglage initial) : x = 1 est dans f⁻¹(V) mais ses voisins de gauche n'y sont pas, l'image réciproque devient fermée à gauche en 1. Élargissez V jusqu'à contenir aussi 0,5 : le crochet disparaît. La fonction continue, elle, ne produit jamais de crochet, quel que soit V.
Chaque barre est un intervalle ouvert Uₖ = ]2⁻ᵏ⁻¹ ; 2⁻ᵏ⁺¹[. Ensemble, ils recouvrent ]0 ; 1]. En bleu : ceux que l'on garde ; en rouge sur l'axe : ce qui reste non couvert.
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K compact ⟺ de tout recouvrement par des ouverts, on peut extraire un sous-recouvrement fini
La leçon. Pour ]0 ; 1], garder un nombre fini d'ouverts laisse toujours un petit morceau ]0 ; 2⁻ᴺ] découvert : ce recouvrement n'admet aucun sous-recouvrement fini, donc ]0 ; 1] n'est pas compact. Pour [0 ; 1], le point 0 doit être couvert par un ouvert, et cet ouvert avale d'un coup tous les Uₖ minuscules : l'algorithme glouton s'arrête toujours après un nombre fini d'étapes. C'est le théorème de Borel-Lebesgue : dans ℝ, compact équivaut à fermé et borné. La compacité est la version topologique de « fini » : elle garantit par exemple qu'une fonction continue atteint son maximum.
En rouge sur l'axe : l'ensemble E des x de [0 ; 10] où la courbe passe au-dessus de la ligne horizontale y = c. Chaque segment rouge est un morceau d'un seul tenant, une « composante connexe ».
Nombre de composantes connexes de E—
E = réunion d'intervalles—
Longueur de E par les extrémités—
Longueur par comptage de 1 000 000 de points—
Écart—
f(x) = sin x + 0,6 sin(2,7x + 0,4) + 0,25 cos(5,3x)
D'un seul tenant. Un espace est connexe s'il ne se coupe pas en deux ouverts disjoints non vides. Dans ℝ, les connexes sont exactement les intervalles : c'est pourquoi une fonction continue qui change de signe sur un intervalle s'annule forcément (théorème des valeurs intermédiaires). En faisant monter c, on voit E se fragmenter puis disparaître morceau par morceau : le nombre de composantes est une information topologique, que la déformation continue de l'axe ne changerait pas.
Planche 2
Topologie algébrique : compter les trous avec un groupe
L'idée : on explore un espace avec des lacets, des chemins qui partent d'un point et y reviennent. Deux lacets sont équivalents si l'on peut glisser l'un sur l'autre sans quitter l'espace. Les classes de lacets forment un groupe (on les enchaîne bout à bout) : le groupe fondamental de Poincaré. Sur une sphère, tout lacet se resserre en un point : le groupe est trivial. Sur le tore, un lacet est caractérisé par deux entiers (p, q) — combien de fois il fait le tour du trou central, combien de fois il fait le tour du tube — et le groupe est ℤ².
Le tore mis à plat : un carré dont on recolle les bords opposés dans le sens des flèches (a avec a, b avec b). Les quatre coins deviennent un seul point, le point de base rouge.
Le même lacet sur le tore dans l'espace. Faites glisser pour tourner la figure.
Classe du lacet dans π₁(tore) = ℤ²—
Forme du lacet—
Tours autour du trou, mesurés en 3D (angle cumulé / 2π)—
Tours autour du tube, mesurés en 3D—
Passages par le bord (lacet droit) : total / points distincts—
pgcd(p, q) : nombre de fois où la courbe se recouvre—
Ce que montre la déformation. Le curseur « déformation » change complètement le dessin : à gauche le lacet fait d'abord ses p tours autour du trou puis ses q tours autour du tube (ap·bq), à droite dans l'ordre inverse (bq·ap), au milieu il fait tout en diagonale. Pendant toute la déformation, les deux nombres de tours mesurés en 3D restent exactement p et q : ce sont des invariants. Et puisque ap·bq se déforme en bq·ap, le groupe du tore est commutatif. Ce n'est pas toujours le cas : pour le « huit » (deux cercles collés en un point), a·b et b·a ne se déforment pas l'un en l'autre. Enfin, lorsque pgcd(p, q) = 1, le lacet droit est une courbe simple ; sinon il repasse pgcd(p, q) fois sur la même courbe.
Planche 3
Topologie différentielle : faire du calcul sur un espace courbe
L'idée : une variété différentielle est un espace qui, vu de près, ressemble à un morceau de droite, de plan ou d'espace, et sur lequel on peut dériver. On la décrit par un atlas de cartes, comme un atlas géographique décrit la Terre par des cartes planes qui se chevauchent. La seule exigence : là où deux cartes se recouvrent, le passage de l'une à l'autre doit être dérivable autant de fois que l'on veut.
Carte bleue : on projette M depuis le pôle Nord N sur l'axe horizontal, on obtient le nombre u. Carte violette : depuis le pôle Sud S, on obtient v. Chaque carte voit tout le cercle sauf son propre pôle.
Le changement de carte u ↦ v, calculé en repassant par le cercle. Sa courbe est l'hyperbole v = 1/u ; en vert, la tangente.
Carte Nord : u = x / (1 − y)—
Carte Sud : v = x / (1 + y)—
u · v (doit valoir 1 hors des pôles)—
Retour au cercle depuis u : écart à M—
dv/du par la formule −1/u²—
dv/du mesurée (Richardson) — écart—
Pourquoi deux cartes ? Aucune carte unique ne peut représenter tout le cercle par un intervalle sans le déchirer quelque part : il en faut au moins deux, comme il faut au moins deux cartes planes pour toute la Terre. Sur leur partie commune (le cercle privé des deux pôles), le passage de u à v est v = 1/u : une fonction dérivable à tout ordre. C'est ce qui fait du cercle une variété lisse. Le bord d'un carré est lui aussi un « cercle » pour la topologie générale (on passe de l'un à l'autre par une déformation continue), mais, vu comme courbe du plan, ses coins l'empêchent d'être une courbe lisse : il n'a pas de tangente en ces quatre points. La topologie différentielle voit des différences que la topologie générale ignore. Le mathématicien John Milnor a même montré en 1956 qu'il existe des sphères de dimension 7 homéomorphes mais pas difféomorphes à la sphère ordinaire.
Un tore debout, que l'on remplit d'eau jusqu'au niveau c (ligne rouge). En bleu : la partie immergée. Points rouges : les points critiques de la hauteur, où le plan tangent est horizontal. Faites glisser pour tourner autour du tore.
Forme de la partie immergée—
Points critiques trouvés par Newton (indices)—
Valeurs critiques mesurées—
Écart maximal aux formules ±(R cos α ± r)—
Somme des (−1)^indice—
La théorie de Morse. Quand l'eau monte, la forme de la partie immergée ne change qu'au passage d'un point critique : un minimum (indice 0) fait naître un disque, un col (indice 1) attache une anse, un maximum (indice 2) referme la surface. Entre deux valeurs critiques, rien ne change. On lit ainsi la topologie par l'analyse. Le compte signé des points critiques — minimums moins cols plus maximums — ne dépend pas de l'inclinaison choisie : il vaut 1 − 2 + 1 = 0, la caractéristique d'Euler du tore, que la planche 4 retrouvera par un simple comptage de sommets.
Planche 4
Topologie géométrique : toutes les surfaces, et la géométrie qu'elles portent
L'idée : toute surface fermée s'obtient en recollant deux à deux les côtés d'un polygone. On la code par un mot : on lit les côtés dans l'ordre, une lettre par côté, avec l'exposant ⁻¹ quand la flèche va à contre-sens. Le tore est aba⁻¹b⁻¹ : c'est le carré de la planche 2. Le théorème de classification dit que deux nombres suffisent à reconnaître une surface fermée : sa caractéristique d'Euler χ = S − A + F (sommets, arêtes, faces après recollement) et le fait qu'elle soit orientable ou non (a-t-elle un envers ?). La topologie géométrique va plus loin : chaque surface admet une géométrie uniforme — sphérique, plate ou hyperbolique — dictée par le signe de χ.
Les côtés portant la même lettre sont recollés en faisant coïncider les flèches. Les sommets de même couleur deviennent un seul point. Quand χ < 0, le polygone est dessiné dans le disque de Poincaré, modèle du plan hyperbolique : ses côtés y sont des arcs de cercle.
Chaque lettre doit apparaître exactement deux fois ; pour l'inverse, écrivez a⁻¹, a' ou a^-1.
Mot—
Côtés / arêtes après recollement—
Sommets après recollement—
χ = S − A + F—
Orientable ?—
Nom de la surface—
Angle requis à chaque coin / angle d'un polygone plat—
Géométrie portée—
Aire par Gauss-Bonnet : |2πχ|—
Aire mesurée par intégration — écart—
De la topologie à la géométrie. Après recollement, tous les coins de même couleur se retrouvent autour d'un seul point : leurs angles doivent totaliser exactement 360°. Pour le tore, quatre coins de 90° : le carré plat convient, le tore porte une géométrie plate. Pour le tore à deux trous, huit coins doivent se partager 360°, soit 45° chacun, bien moins que les 135° d'un octogone plat : aucun octogone du plan ne convient, il faut le plan hyperbolique, où les angles d'un polygone se rétrécissent quand il grandit. La formule de Gauss-Bonnet relie alors l'aire à la topologie : aire = −2πχ, que l'intégration numérique retrouve. Le mot « surprise » abcabc a trois lettres de même sens : ce n'est pas un nouvel objet, mais un plan projectif déguisé — la classification ne laisse aucune échappatoire. Thurston a étendu ce programme aux variétés de dimension 3 (huit géométries), et Perelman l'a démontré en 2003.
Planche 5 · signature
Topologie des nœuds : peut-on le défaire sans couper la corde ?
L'idée : un nœud est une corde fermée dans l'espace (on a soudé les deux bouts pour qu'elle ne puisse pas s'échapper). Deux nœuds sont équivalents si l'on passe de l'un à l'autre en déformant l'espace, sans couper ni faire traverser la corde. Pour prouver que deux nœuds sont différents, il ne suffit pas d'échouer à les défaire : il faut un invariant. Ici, un invariant calculé à partir du dessin : on nomme brins les morceaux du dessin entre deux passages en dessous, et l'on cherche à colorier chaque brin avec un nombre de 0 à p − 1 de sorte qu'à chaque croisement, 2 × (brin du dessus) − (brins du dessous) soit un multiple de p. Le nombre de coloriages possibles, et un nombre qui les résume, le déterminant du nœud, ne dépendent pas du dessin choisi.
Le dessin du nœud vu d'en haut : une interruption du trait signale un passage en dessous. Quand un coloriage non trivial à 3 couleurs existe, les brins sont peints avec : à chaque croisement, soit les trois brins ont la même couleur, soit ils en ont trois différentes.
Croisements du dessin (= nombre de brins)—
Déterminant (mineur sans la dernière ligne ni colonne)—
Déterminant (mineur sans la première ligne ni colonne)—
Valeur connue dans les tables—
Coloriages modulo 3 / 5 / 7 (dont constants)—
Verdict—
Balayage de la torsion de −1,5 à 1,5Appuyez sur « Balayer 81 torsions ».
Le cœur de la topologie des nœuds. La torsion de l'espace et l'angle de vue sont de vraies déformations : la corde n'est jamais coupée. Pourtant le dessin change, le nombre de croisements aussi. Ce qui ne change pas, c'est le déterminant — 1 pour le nœud trivial, 3 pour le trèfle, 5 pour le nœud de huit — parce que les trois mouvements de Reidemeister, qui décrivent toutes les manières de modifier un dessin, préservent les coloriages. Le « nœud trivial déguisé » a des croisements, mais son déterminant vaut 1 : il se défait (sa hauteur n'a qu'un maximum et un minimum). Le trèfle, lui, se colorie à 3 couleurs et le cercle non : le trèfle ne peut pas être défait, c'est désormais démontré. Mais attention à T(3, 5) : son déterminant vaut aussi 1, et pourtant ce n'est pas le nœud trivial. Un invariant qui coïncide ne prouve rien : c'est pour cela que l'on a cherché des invariants plus fins, comme les polynômes d'Alexander (1928) et de Jones (1984).
Frise : comment les branches ont poussé
1736généraleEuler résout le problème des ponts de Königsberg : seule compte la façon dont les lieux sont reliés, pas les distances. Leibniz rêvait déjà d'une « analysis situs ».
1847généraleJohann Benedict Listing forge le mot « Topologie ».
1858géométriqueMöbius et Listing découvrent indépendamment la bande à une seule face : la notion d'orientabilité est née.
1876nœudsPeter Guthrie Tait commence à dresser les premières tables de nœuds, inspiré par l'idée (fausse) de Kelvin que les atomes seraient des tourbillons noués.
1895algébriqueHenri Poincaré publie l'Analysis Situs : groupe fondamental et homologie, acte de naissance de la topologie algébrique.
1914généraleFelix Hausdorff définit les espaces topologiques par les voisinages, le cadre de la planche 1.
1928nœudsJames Alexander associe à chaque nœud un polynôme invariant.
1936différentielleHassler Whitney donne la définition moderne des variétés différentielles et montre qu'elles se plongent toutes dans un espace euclidien.
1956différentielleJohn Milnor découvre des sphères « exotiques » de dimension 7.
1961géométriqueStephen Smale démontre la conjecture de Poincaré en dimension 5 et plus.
1982géométriqueWilliam Thurston énonce la conjecture de géométrisation des variétés de dimension 3.
1984nœudsVaughan Jones découvre un nouveau polynôme de nœud, venu de l'algèbre des opérateurs et bientôt relié à la physique.
2003géométriqueGrigori Perelman démontre la géométrisation, et avec elle la conjecture de Poincaré.
Synthèse
Un même mot d'ordre : l'invariant
Ouvert ou non, compact ou non, nombre de composantes, classe (p, q) d'un lacet, compte signé des points critiques, caractéristique d'Euler, déterminant d'un nœud : chaque branche fabrique des quantités qu'une déformation ne peut pas changer. Un invariant différent prouve que deux objets sont différents ; un invariant égal ne prouve rien.
Du local au global
La topologie générale et différentielle décrivent ce qui se passe près d'un point (voisinages, cartes, dérivées). Les autres branches assemblent ces informations locales en une information globale : les anses du tore, la géométrie d'une surface, le nouage d'une corde.
Des branches qui se parlent
Le χ = 0 du tore apparaît trois fois dans cette page : par la théorie de Morse (planche 3), par le recollement du carré (planche 4) et à travers la géométrie plate qu'il porte. Les nœuds, eux, se comprennent par leur complémentaire, qui est une variété de dimension 3 : topologie des nœuds et topologie géométrique ne font qu'une.
Pour aller plus loin
Topologie générale. Au-delà de ℝ et du plan, on rencontre des topologies étranges : la topologie discrète (tout ensemble est ouvert), la topologie de Zariski en géométrie algébrique (les fermés sont les zéros de polynômes), les espaces non séparés où deux points ne peuvent pas être isolés l'un de l'autre. Le théorème de Tychonoff affirme qu'un produit, même infini, d'espaces compacts est compact.
Topologie algébrique. Le groupe fondamental ne voit que les trous « de dimension 1 ». Les groupes d'homologie et d'homotopie supérieurs détectent les cavités de dimension plus grande : la sphère n'a aucun lacet non trivial, mais elle enferme une cavité que détecte son deuxième groupe d'homologie. Le nombre de trous de chaque dimension (nombres de Betti) redonne la caractéristique d'Euler par une somme alternée.
Topologie différentielle. Le théorème de Poincaré-Hopf relie les zéros d'un champ de vecteurs à la caractéristique d'Euler, ce qui explique qu'on ne peut pas peigner une sphère chevelue. En dimension 4, la situation est vertigineuse : ℝ⁴ admet une infinité de structures lisses différentes, alors que ℝⁿ n'en a qu'une pour toute autre dimension.
Topologie géométrique. En dimension 3, les huit géométries de Thurston jouent le rôle des trois géométries des surfaces. La plupart des complémentaires de nœuds sont hyperboliques, et leur volume hyperbolique devient à son tour un invariant de nœud.
Nœuds. Les nœuds interviennent dans la biologie de l'ADN (des enzymes, les topoisomérases, coupent et recollent la double hélice pour la dénouer), dans la chimie des molécules entrelacées et dans certaines théories physiques. Le déterminant affiché ici est la valeur absolue du polynôme d'Alexander en t = −1.